11. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $25$ jāizsaka kā $5$ pakāpe:
$5^1 = 5, 5^2 = 25$.
Atrasts: $25 = 5^{2}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $5^{x - 2} = 5^{2}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x - 2 = 2$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $-2$ uz labo pusi:
$x = 2 + 2 = 4$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 5$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 3$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 2$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x - 2 = 2$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 4$:
$5^{4 - 2} = 5^{2} = 25$ ✓

Atrisinājums:
1. Logaritma definīcija. $\log_{a} b = c$ nozīmē "kādā pakāpē jākāpina $a$, lai iegūtu $b$?" Citiem vārdiem: $a^c = b$.

2. Mūsu uzdevums. $\log_{5} 125$ — kādā pakāpē jākāpina $5$, lai iegūtu $125$?

3. Sistemātiskā pārveidošana. Mēģinām izteikt $125$ kā $5$ pakāpi:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
Atrasts: $5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

4. Atbilde. $\log_{5} 125 = 3$.

5. Distraktoru analīze.
• $2$ — pakāpe noklīdusi par vienu soli: $5^{2} = 25 \ne 125$.
• $1$ — pārbaudi: $5^{1} = 5$, bet vajag $125$.
• $4$ — pakāpe noklīdusi par vienu soli: $5^{4} = 625 \ne 125$.

6. Pārbaude. $5^{3} = 125$ ✓ — tieši tā, ko mēs sākotnēji uzdevām atrast.

Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = -5$, $d = -4$, $n = 5$.

4. Aprēķini.
$a_{5} = -5 + (5 - 1) \cdot -4$
$a_{5} = -5 + 4 \cdot -4$
$a_{5} = -5 + -16$
$a_{5} = -21$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-25$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $80$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-17$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{5}$ ir $4$ soļi pa $-4$, tāpēc kopējā maiņa ir $-16$. Sākot no $-5$, beigu vērtība ir $-21$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 3$, $q = 2$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 3 \cdot 2^{5}$
$2^{5} = 32$
$b_{6} = 3 \cdot 32 = 96$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $192$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $13$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $1458$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 3$, $b_2 = 6$, $b_3 = 12$, $b_4 = 24$, $b_5 = 48$, $b_6 = 96$. ✓

Atrisinājums:
Saliktā funkcija. Vispirms iekšējā $g$, tad ārējā $f$.

1. $g(-1) = 3\cdot(-1) - 5 = -8$.
2. $f(-8) = 4\cdot(-8) + 5 = -27$.

Tātad $f(g(-1)) = -27$.