Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Taisnleņķa trijstūrī, attiecībā pret leņķi $\alpha$ (ne taisnais leņķis):
| Sinuss | $\sin\alpha = \dfrac{\text{pretkatete}}{\text{hipotenūza}}$ |
| Kosinuss | $\cos\alpha = \dfrac{\text{piekate}}{\text{hipotenūza}}$ |
| Tangenss | $\tan\alpha = \dfrac{\text{pretkatete}}{\text{piekate}} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ |
Pretkatete ir mala IEPRETĪ leņķim $\alpha$. Piekate ir mala BLAKUS leņķim (ne hipotenūza). Hipotenūza vienmēr ir pretī taisnajam leņķim.
| Leņķis | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
$\tan 90°$ nav definēts, jo $\cos 90° = 0$ un dalīt ar nulli nevar.
Visiem šiem leņķiem sinusa skaitītāji ir $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$ dalīti ar 2. Tas dod:
$\sin 0° = \dfrac{\sqrt{0}}{2} = 0$, $\sin 30° = \dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$, $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 90° = \dfrac{\sqrt{4}}{2} = 1$.
Kosinusam tas pats secībā uz aizmugurējo pusi — sākot no 0° ar 1 un beidzot ar 0:
$\cos 0° = \dfrac{\sqrt{4}}{2} = 1$, $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60° = \dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 90° = 0$.
Tāpēc ir tāda simetrija: $\sin 30° = \cos 60°$, $\sin 45° = \cos 45°$, $\sin 60° = \cos 30°$. Tas ir saistīts ar identitāti $\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)$.
Uzdevums: Aprēķini $\sin^2 30° + \cos^2 60°$.
1. solis. Ievietojam vērtības: $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$ un $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$.
2. solis. Kāpinām katrai kvadrātā un saskaitām:
$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$$
Atbilde: $\boxed{\dfrac{1}{2}}$.
Piezīme: šeit nevar pielietot pamatidentitāti $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, jo leņķi atšķiras ($30°$ un $60°$). Identitāte darbojas tikai vienam un tam pašam leņķim.
⚠️ Nepamiroties par pretkateti un piekati.
Pretkatete ir mala IEPRETĪ leņķim. Piekate ir mala BLAKUS leņķim. Tas atkarīgs no tā, ar kuru leņķi strādā.
Vienā un tajā pašā trijstūrī mala $a$ var būt PRETKATETE attiecībā pret leņķi $\alpha$, un PIEKATE attiecībā pret leņķi $\beta$.
⚠️ $\sin^{-1}$ nav $\dfrac{1}{\sin}$. $\sin^{-1} x$ (arī $\arcsin x$) ir apgrieztā funkcija — atrod leņķi, kura sinuss ir $x$. Piemēram, $\sin^{-1} 0{,}5 = 30°$. Bet $\dfrac{1}{\sin 30°} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$. Pavisam citas vērtības.
⚠️ $\sin^2 \alpha$ nozīmē $(\sin\alpha)^2$, NEVIS $\sin(\sin\alpha)$. Tāds ir tradicionālais apzīmējums trigonometriskām funkcijām.