Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Logaritms ir pretējā darbība pakāpināšanai. Ja $a^c = b$, tad $\log_a b = c$.
Vienkārši runājot: $\log_a b$ atbild uz jautājumu — kādā pakāpē jākāpina $a$, lai iegūtu $b$?
Piemēri:
Nosaukumi: $a$ — logaritma bāze, $b$ — apakšlogaritma izteiksme (jeb arguments). Bāzei jābūt $a > 0$ un $a \neq 1$. Argumentam $b > 0$ (nevar logaritmēt negatīvu skaitli vai nulli).
Speciālie logaritmi:
Šīs piecas formulas atrisina 90% no CE logaritmu uzdevumiem. Iegaumē tās.
| 1. Reizinājums | $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ |
| 2. Dalījums | $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ |
| 3. Pakāpe | $\log_a x^n = n \log_a x$ |
| 4. Bāzes pakāpe | $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$, $\log_a a^n = n$ |
| 5. Bāzes maiņa | $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ |
Atbalsts kalkulatoram: CE eksāmenā ir pieejams tikai $\lg$ (decimālais) un $\ln$ kalkulators. Citu bāzu logaritmus aprēķini caur bāzes maiņas formulu, piem., $\log_2 5 = \dfrac{\lg 5}{\lg 2}$.
Uzdevums: Aprēķini $\log_2 32 + \log_2 4 - \log_2 8$.
1. solis. Apvienojam ar īpašībām (1) un (2):
$$\log_2 32 + \log_2 4 - \log_2 8 = \log_2 \dfrac{32 \cdot 4}{8} = \log_2 16$$
2. solis. Atpazīstam pakāpi: $16 = 2^4$, tāpēc $\log_2 16 = 4$.
Atbilde: $\boxed{4}$.
Alternatīvs ceļš: aprēķināt katru atsevišķi: $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$. Tad $5 + 2 - 3 = 4$. Tāds pats rezultāts, bet apvienošana ar īpašībām vispār ātrāka, kad skaitļi ir lielāki.
"Lielais skaitlis ir mazā pakāpē" — logaritms atbild, cik mazs ir pakāpes rādītājs.
Piemērs: $\log_2 1024 = 10$. Skaitlis 1024 ir liels, bet pakāpes rādītājs (10) ir mazs, ērti operējams.
Kāpēc logaritmi vispār noder? Tie pārvērš reizināšanu (grūta) par saskaitīšanu (viegla). Vēsturiski tas glāba zinātniekus pirms kalkulatoriem — ar logaritmu tabulām varēja reizināt 7-ciparu skaitļus dažu sekunžu laikā.
Mūsdienās pielietojumi: skaņa (decibeli), zemestrīces (Rihtera skala), pH (skābums), algoritmi (datorzinātnēs).
⚠️ $\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y$
Formulas (1) un (2) darbojas TIKAI ar reizinājumu un dalījumu, NEVIS ar saskaitīšanu un atņemšanu.
Pareizi: $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$. Pārbaude: $\log_2 32 = 5$. ✓
Nepareizi: $\log_2 (8 + 4) \neq \log_2 8 + \log_2 4$. Reālā vērtība $\log_2 12 \approx 3{,}58$, bet $\log_2 8 + \log_2 4 = 5$. Atšķiras!
⚠️ Otra kļūda: negatīvas vai nulles vērtības argumentā. Izteiksme $\log_2 (x - 3)$ ir definēta tikai, kad $x - 3 > 0$, tas ir $x > 3$. To sauc par definīcijas apgabalu (DAA) — to vienmēr norādi nevienādības risinājumā.