11. klaseAlgebra un funkcijas

Aritmētiskā progresija

Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.

📖Kas ir aritmētiskā progresija?

Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kur katrs nākamais loceklis iegūts iepriekšējam pieskaitot konstanti — starpību $d$.

Piemēri:

$2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ — starpība $d = 3$
$10, 7, 4, 1, -2, \ldots$ — starpība $d = -3$ (dilstoša)
$5, 5, 5, 5, \ldots$ — starpība $d = 0$ (konstanta)

Apzīmējumi:

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ — progresijas locekļi
$d$ — starpība (no jebkura locekļa atņemot iepriekšējo: $d = a_{n+1} - a_n$)
$S_n$ — pirmo $n$ locekļu summa

∑Galvenās formulas

$n$-tais loceklis	$a_n = a_1 + (n-1) d$
Summa $S_n$	$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Summa caur $d$	$S_n = \dfrac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$
Vidējais loceklis	$a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ (katrs loceklis ir blakus locekļu vidējais)

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Aritmētiskās progresijas pirmais loceklis $a_1 = 7$, starpība $d = 4$. Atrod 10. locekli un pirmo 10 locekļu summu.

1. solis. Desmitais loceklis pēc formulas:

$$a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot d = 7 + 9 \cdot 4 = 7 + 36 = 43$$

2. solis. Summa pēc formulas $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$:

$$S_{10} = \dfrac{(7 + 43) \cdot 10}{2} = \dfrac{50 \cdot 10}{2} = 250$$

Atbilde: $a_{10} = 43$, $S_{10} = 250$.

Pārbaude: $7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43$. Summa = $7 + 43 = 50$, kas notiek 5 reizes (sajaucot pirmo + pēdējo, otro + priekšpēdējo utt.). $50 \cdot 5 = 250$. ✓

🎯Atmiņas paņēmiens

Gausa princips — kāpēc summas formula darbojas.

Stāsts: 9 gadus vecais Gauss skolā saņēma uzdevumu saskaitīt $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$. Pārējie skolēni rēķināja minūtēm, bet Gauss to izdarīja sekundēs.

Viņa metode: sapāro skaitļus no abām pusēm:

$1 + 100 = 101$
$2 + 99 = 101$
$3 + 98 = 101$
... 50 šādi pāri ...

Summa $= 101 \cdot 50 = 5050$. Vispārīgi: $S_n = \dfrac{(\text{pirmais} + \text{pēdējais}) \cdot \text{locekļu skaits}}{2}$.

Tāpēc summas formula vienmēr derēs aritmētiskām progresijām — neatkarīgi no starpības vai sākumvērtības.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ $a_n = a_1 + (n-1)d$, NEVIS $a_1 + nd$.

Iemesls: $a_1$ pats nav "pieskaitīts $d$" — tas ir SĀKUMA punkts. Tikai $a_2$ ir $a_1 + d$, $a_3$ ir $a_1 + 2d$, utt.

Pārbaude: $a_1 = a_1 + (1-1) \cdot d = a_1 + 0 = a_1$ ✓

⚠️ Dilstoša progresija — $d < 0$. Ja virkne dilst (skaitļi kļūst mazāki), tad starpība ir negatīva. Piem., $100, 90, 80, \ldots$ → $d = -10$.

⚠️ Atšķirība no ģeometriskās progresijas:

Aritmētiskā: pieskaita $d$ → $a_n = a_1 + (n-1)d$
Ģeometriskā: reizina ar $q$ → $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Vairums kļūdu rodas, izmantojot nepareizo formulu — vienmēr pārliecinieties, kura veida progresija.

✓ Pārbaudi sevi

Aritmētiskā progresija: $a_1 = 5$, $d = 3$. Cik ir $a_8$?

A) $24$
B) $26$
C) $29$
D) $32$

Pareizā atbilde: B) $26$

$a_8 = a_1 + (8-1) \cdot d = 5 + 7 \cdot 3 = 5 + 21 = 26$.

Aritmētiskās progresijas pirmie pieci locekļi ir $2, 6, 10, 14, 18$. Kāda ir $S_5$?

A) $30$
B) $40$
C) $50$
D) $70$

Pareizā atbilde: C) $50$

$S_5 = \dfrac{(2 + 18) \cdot 5}{2} = \dfrac{20 \cdot 5}{2} = 50$. Vai arī tieši saskaitot: $2+6+10+14+18 = 50$.

▶ Atvērt interaktīvi un trenēties — MatemPro app

11. klases citas tēmas

Logaritmi →Trigonometrijas pamatvērtības →Eksponenciāli vienādojumi →Pamatidentitāte $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ →Sinusu teorēma →Cilindrs →