Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Trigonometrijas pamatidentitāte:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Šī ir spēkā jebkurai $\alpha$ vērtībai. To sauc par "identitāti", jo tā ir spēkā vienmēr — nav vienādojums, ko risinām.
Kāpēc tā darbojas? Vienības riņķī (rādiusa 1 riņķī ar centru sākumpunktā) punkta $(\cos\alpha; \sin\alpha)$ attālums no centra ir 1. Pēc Pitagora teorēmas: $(\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1^2$.
Tāpēc pamatidentitāte ir vienkārši Pitagora teorēma vienības riņķī.
No pamatidentitātes izriet vairākas noderīgas formulas:
| $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ | Pamatidentitāte |
| $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ | Sinusa kvadrāts caur kosinusu |
| $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ | Kosinusa kvadrāts caur sinusu |
| $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ | Tangensam (dalot ar $\cos^2\alpha$) |
| $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ | Kotangensam (dalot ar $\sin^2\alpha$) |
Uzdevums: Zināms, ka $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ un $\alpha$ ir 1. kvadrantā. Atrod $\cos\alpha$.
1. solis. No pamatidentitātes: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$$
2. solis. Velkam sakni: $\cos\alpha = \pm\dfrac{4}{5}$.
3. solis. Izvēlamies zīmi. 1. kvadrantā ($0 < \alpha < 90°$) gan sinusa, gan kosinusa vērtības ir pozitīvas. Tāpēc $\cos\alpha = +\dfrac{4}{5}$.
Atbilde: $\boxed{\cos\alpha = \dfrac{4}{5}}$.
Piezīme: šis ir klasiskais 3-4-5 trijstūris vienības riņķī (mērogots līdz hipotenūzai $= 5$, katete $= 3$ un katete $= 4$).
Kvadrantu zīmju tabula — kura funkcija ir pozitīva kurā kvadrantā:
| Kvadrants | Leņķis | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|---|
| I | $0° - 90°$ | + | + | + |
| II | $90° - 180°$ | + | − | − |
| III | $180° - 270°$ | − | − | + |
| IV | $270° - 360°$ | − | + | − |
Atmiņas paņēmiens: "All Students Take Calculus" (visi pozitīvi → tikai sinuss → tikai tangenss → tikai kosinuss). Latviski: 1.kv visi+, 2.kv tikai sin+, 3.kv tikai tan+, 4.kv tikai cos+.
⚠️ $\sin^2\alpha \neq \sin\alpha^2$.
Šie ir pavisam dažādi. Trigonometrijas standarta apzīmējums ir $\sin^2\alpha$ — tas ir vēsturisks īsinājums priekš $(\sin\alpha)^2$.
⚠️ Aizmirstā $\pm$ zīme. Ja velkam kvadrātsakni, vienmēr atceries par abām zīmēm. Pēc tam izvēlies pareizo, balstoties uz leņķa kvadrantu.
⚠️ Pamatidentitāti nedrīkst lietot citiem leņķiem. $\sin^2 30° + \cos^2 60° = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$, NEVIS 1. Identitāte darbojas tikai vienam un tam pašam leņķim.