Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Jebkurā trijstūrī sānu attiecība pret pretī esošā leņķa sinusu ir vienāda visām trim sānām un vienāda ar apvilktās riņķa līnijas diametru:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
Apzīmējumi:
Atšķirībā no Pitagora teorēmas: tā darbojas jebkuram trijstūrim — taisnleņķa, šaurleņķa, strupleņķa. Pitagora tikai taisnleņķa.
Sinusu teorēma der, ja zināmas vismaz 2 attiecības (sāna + pretī leņķis):
| Dots | Atrod |
|---|---|
| 2 leņķi + 1 sāna (AAS, ASA) | Pārējās sānas |
| 2 sānas + 1 leņķis (SSA) | Otrais leņķis (bet uzmanīgi — var būt 2 risinājumi) |
| Trijstūris + apvilkta riņķa līnija | Rādiuss $R$ no $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ |
Nelieto, kad: ir tikai 3 sānas bez leņķiem — tad kosinusa teorēma. Vai 2 sānas + iekšleņķis starp tām — arī kosinusa teorēma.
Uzdevums: Trijstūrī $A = 30°$, $B = 45°$, sāna $a = 10$ (pretī leņķim $A$). Atrod sānu $b$.
1. solis. Pielietojam sinusu teorēmu:
$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$$
2. solis. Ievietojam vērtības:
$$\dfrac{10}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$$
3. solis. Atceramies: $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$$\dfrac{10}{1/2} = \dfrac{b}{\sqrt{2}/2}$$
$$20 = \dfrac{2b}{\sqrt{2}}$$
$$b = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$$
Atbilde: $\boxed{b = 10\sqrt{2}}$.
"Lielajai sānai — lielais leņķis." Sinusa funkcija ir augoša diapazonā $[0°; 90°]$, tāpēc:
Tāpēc, ja redzi trijstūri kur $A > B$, automātiski zini, ka $a > b$.
Mnemonika atmiņai: "Sin saSin" — Sinusu teorēma sasaista sānu un sinusu.
⚠️ SSA (sāna-sāna-leņķis) gadījumā var būt 2 trijstūri.
Ja dotas 2 sānas un leņķis, kas NAV starp tām, var rasties divi risinājumi (jo $\sin(180° - x) = \sin x$). Piemērs: $a = 5$, $b = 7$, $A = 30°$ — risinājumi $B = 44°$ un $B = 136°$ abi der.
Risinājums: vienmēr pārbaudīt, ka leņķu summa $\leq 180°$ — ja viens variants pārkāpj, ir vienīgi otrais.
⚠️ Pretī esošais leņķis — uzmanīgi izvēlies pareizo. Leņķis $A$ ir IEPRETĪ sānai $a$ (nevis blakus). Klasiska kļūda — sajaukt pretī un blakus.
⚠️ Apvilktās riņķa līnijas $R$, NEVIS ievilktās $r$. Sinusu teorēmā $2R$ ir apvilktās riņķa līnijas diametrs (trijstūris ir IEVILKTS šajā riņķī).