Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Eksponenciāls vienādojums ir tāds, kurā nezināmais ir pakāpes rādītājā.
Piemēri:
Galvenā ideja: ja varam abas puses uzrakstīt ar vienu un to pašu bāzi, tad pakāpes rādītāji ir vienādi. Ja nē — risinām ar logaritmiem.
| Vienādu bāzu metode | Ja $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ ($a > 0$, $a \neq 1$), tad $f(x) = g(x)$ |
| Logaritmēšana | Ja $a^x = b$, tad $x = \log_a b$ |
| Aizvietošana | Ja vairākas pakāpes — apzīmē $t = a^x$, risina kvadrātvienādojumu |
| Pārbaude | Pakāpe ir pozitīva ($a^x > 0$) — neatrisinājumus jāizmet |
Uzdevums: Atrisini $2^{x+1} = 16$.
1. solis. Uzrakstām $16$ kā pakāpi: $16 = 2^4$.
$$2^{x+1} = 2^4$$
2. solis. Vienādas bāzes → pakāpju rādītāji vienādi:
$$x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$$
Pārbaude: $2^{3+1} = 2^4 = 16$ ✓
Atbilde: $\boxed{x = 3}$.
Sarežģītāks piemērs: $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.
1. solis. Pamani, ka $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Apzīmē $t = 2^x$, kur $t > 0$.
$$t^2 - 3t - 4 = 0$$
2. solis. Risini kvadrātvienādojumu: $t = 4$ vai $t = -1$.
3. solis. Atmet $t = -1$ (jo $2^x > 0$). Tāpēc $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$.
Atbilde: $\boxed{x = 2}$.
Pakāpes "tulkošanas" tabula — vajadzīga, lai ātri atpazītu, ka $16 = 2^4 = 4^2$:
| $n$ | $2^n$ | $3^n$ | $5^n$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 9 | 25 |
| 3 | 8 | 27 | 125 |
| 4 | 16 | 81 | 625 |
| 5 | 32 | 243 | 3125 |
| 6 | 64 | 729 | 15625 |
Iegaumē vismaz pirmās 6 rindas — CE eksāmenā tās ir gandrīz vienmēr.
⚠️ $a^x = 0$ nav atrisinājuma. Pakāpe ar pozitīvu bāzi vienmēr ir pozitīva. Tāpēc $2^x = 0$ vai $2^x = -5$ — bez risinājuma.
⚠️ Pārbaude ir obligāta pēc aizvietošanas. Ja $t = 2^x$, tad $t > 0$. Ja atrisinājumā saņem $t = -1$, NEMĒĢINI vēl atrast $x$ — vienkārši atmet šo sakni.
⚠️ Bāzes maiņa ar mazo apakšu. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 8$ → uzraksti kā $2^{-x} = 2^3$ → $-x = 3$ → $x = -3$. Negatīvs pakāpes rādītājs nav kļūda — tas ir normāls atrisinājums.