Sfēra un lode — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 2$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 2^3 = 8$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 8 = \dfrac{32}{3}\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 33{,}5$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $32\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{8}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 3$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 3^3 = 27$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = \dfrac{108}{3}\pi$ cm³ $= 36\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 113$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $27\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $108\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{27}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 4$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 4^3 = 64$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 64 = \dfrac{256}{3}\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 267{,}9$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $64\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $256\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{64}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 6$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 6^3 = 216$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 216 = \dfrac{864}{3}\pi$ cm³ $= 288\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 904{,}3$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $216\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $864\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{216}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 5$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 5^3 = 125$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 125 = \dfrac{500}{3}\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 523{,}3$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $125\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $500\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{125}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).