Lode un sfēra

📖Lode un sfēra

Sfēra ir virsma — visi telpas punkti vienādā attālumā $R$ no centra. Lode ir ķermenis — sfēra kopā ar visu, kas tās iekšpusē.

(Analoģija plaknē: riņķa līnija ↔ riņķis.)

Jebkurš lodes šķēlums ar plakni ir riņķis. Ja plakne iet caur centru — lielais riņķis ar rādiusu $R$; ja attālumā $d$ no centra — riņķis ar rādiusu $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (Pitagors!).

∑Tilpums un virsmas laukums

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$S = 4\pi R^2$

Šķēluma rādiuss attālumā $d$ no centra:

$r = \sqrt{R^2 - d^2}$

Interesants fakts pārbaudei: sfēras laukums ir tieši 4 lielā riņķa laukumi ($4 \cdot \pi R^2$).

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Lodes rādiuss ir $3$ cm. Atrod tilpumu un virsmas laukumu.

Tilpums:

$$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3$$

Virsma:

$$S = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^2$$

(Pie $R = 3$ skaitliskās vērtības sakrīt — jauks sakritības āķis, ko eksāmenā mēdz izmantot!)

🎯Atmiņas paņēmiens

Kura formula kura ir: tilpums ir "trīsdimensiju" → tajā $R^3$; virsma ir "divdimensiju" → $R^2$. Pakāpe = dimensija.

Šķēlumu uzdevumos vienmēr zīmē taisnleņķa trijstūri: hipotenūza $R$, katetes $d$ (attālums līdz plaknei) un $r$ (šķēluma rādiuss).

Mērogs: palielinot rādiusu 2 reizes, virsma pieaug $2^2 = 4$ reizes, tilpums $2^3 = 8$ reizes.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Nejauc formulas: $V$ ar $\frac{4}{3}$ un kubu, $S$ ar $4$ un kvadrātu. "Četras trešdaļas — tilpums."

⚠️ Ja dots diametrs, nepiemirsti dalīt ar 2: $d = 12 \Rightarrow R = 6$. Puse kļūdu lodes uzdevumos ir tieši šī.

⚠️ Šķēluma formulā $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ — $d$ ir attālums no centra līdz plaknei (perpendikuls), nevis līdz šķēluma malai.

✓ Pārbaudi sevi