Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Primitīvā funkcija $F(x)$ funkcijai $f(x)$ ir tāda, kuras atvasinājums ir $f$: $F'(x) = f(x)$.
Integrēšana ir atvasināšanai pretējā darbība.
Tā kā konstantes atvasinājums ir nulle, primitīvo funkciju ir bezgalīgi daudz — tās atšķiras par konstanti. Tāpēc nenoteiktais integrālis:
$\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$
Noteiktais integrālis $\int_a^b f(x)\,dx$ ģeometriski ir laukums zem grafika no $a$ līdz $b$ (ja $f \geq 0$).
| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
Ņūtona—Leibnica formula noteiktajam integrālim:
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Uzdevums: Aprēķini $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$.
1. solis. Primitīvā funkcija:
$$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + x = x^3 + x$$
2. solis. Ņūtona—Leibnica:
$$\int_0^2 (3x^2+1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 + 2) - 0 = 10$$
Atbilde: $10$. (Tas ir laukums zem parabolas $y = 3x^2+1$ no $0$ līdz $2$.)
Pakāpes likums atpakaļgaitā: "kāpinātājs pieaug par vienu, tad ar to izdala": $x^4 \to \frac{x^5}{5}$.
Vienmēr pārbaudi atvasinot: ja $\left(\frac{x^5}{5} + C\right)' = x^4$ ✓ — integrālis pareizs. Šī pārbaude ir bezmaksas un noķer visas kļūdas.
Sin/cos integrāļiem: "integrējot sinusu, parādās mīnuss" ($\int \sin = -\cos$), atvasinot — mīnuss pie kosinusa. Simetrija!
⚠️ Aizmirstā $+C$ nenoteiktajā integrālī — standarta punkta zaudēšana eksāmenā.
⚠️ Ņūtona—Leibnica secība: $F(b) - F(a)$, augšējā robeža pirmā. Apmainīsi — sanāks pretēja zīme.
⚠️ Ja $f(x) < 0$ intervālā, integrālis sanāk negatīvs — laukumam ņem moduli vai sadala intervālu daļās, kur funkcija maina zīmi.
⚠️ $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$ — pakāpes likums te nedarbojas (dalītu ar nulli).