Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Atvasinājums $f'(x)$ parāda funkcijas izmaiņas ātrumu punktā.
Ģeometriski: $f'(x_0)$ ir pieskares virziena koeficients (slīpums) grafika punktā $x_0$.
Fizikāli: ja $s(t)$ ir ceļš, tad $s'(t) = v(t)$ ir momentānais ātrums, un $v'(t) = a(t)$ — paātrinājums.
Intuīcija: kur funkcija strauji aug — atvasinājums liels un pozitīvs; kur funkcija dilst — negatīvs; virsotnēs (maksimumos/minimumos) — nulle.
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$ (konstante) | $0$ |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
Likumi: $(cf)' = cf'$; $(f \pm g)' = f' \pm g'$;
$(fg)' = f'g + fg'$, $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
Saliktā funkcija: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Uzdevums: Atrod $f'(x)$, ja $f(x) = 3x^4 - 2x + 5$, un pieskares slīpumu punktā $x = 1$.
1. solis. Atvasina pa locekļiem:
$$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 2 + 0 = 12x^3 - 2$$
2. solis. Slīpums punktā $x = 1$:
$$f'(1) = 12 - 2 = 10$$
Saliktās funkcijas piemērs: $\big((2x+1)^5\big)' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$ — nepiemirsti iekšējo atvasinājumu $2$!
Pakāpes likums: "kāpinātājs nolec priekšā, pats samazinās par vienu": $x^7 \to 7x^6$.
Saliktajai funkcijai — "sīpola princips": atvasini ārējo slāni (iekšu neaiztiekot), tad reizini ar iekšējā slāņa atvasinājumu.
Reizinājuma likums dziesmiņā: "pirmā atvasinājums reiz otrais, plus pirmais reiz otrā atvasinājums".
Pirms atvasini, vienkāršo: $\frac{x^3 + x}{x} = x^2 + 1$ — tagad atvasināt daudz vieglāk.
⚠️ $(fg)' \neq f' g'$! Reizinājumu atvasina pēc likuma $f'g + fg'$. Pārbaude: $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$, bet $x' \cdot x' = 1$.
⚠️ Aizmirsts iekšējais atvasinājums saliktajā funkcijā: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, nevis tikai $\cos 3x$.
⚠️ $(\cos x)' = -\sin x$ — mīnuss ir tieši kosinusam. Atceries: "kosinuss krīt pirmajā kvadrantā, tāpēc tā atvasinājums negatīvs".
⚠️ Konstantes atvasinājums ir $0$, bet $(5x)' = 5$ — nejauc "konstante viena pati" ar "konstante reiz $x$".