Kosinusu teorēma

📖Kas ir kosinusu teorēma?

Kosinusu teorēma ir "vispārinātā Pitagora teorēma" — tā darbojas jebkurā trijstūrī, ne tikai taisnleņķa.

Malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu mīnus dubults to reizinājums ar starp tām esošā leņķa kosinusu.

Ja leņķis ir taisns ($\cos 90° = 0$), pārpaliek tieši Pitagora teorēma — tāpēc "vispārinātā".

∑Formula abos virzienos

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$

kur $A$ ir leņķis pretī malai $a$ (starp malām $b$ un $c$).

Leņķa atrašanai (zinot visas trīs malas) izsaka kosinusu:

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Kad lietot kuru teorēmu:

• 2 malas + leņķis starp tām, vai 3 malas → kosinusu teorēma
• mala + 2 leņķi, vai 2 malas + leņķis pretī vienai no tām → sinusu teorēma

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Trijstūrī $b = 5$, $c = 8$, leņķis starp tām $A = 60°$. Atrod malu $a$.

1. solis. Kosinusu teorēma ($\cos 60° = \frac{1}{2}$):

$$a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 64 - 40 = 49$$

2. solis. $a = \sqrt{49} = 7$

Atbilde: $a = 7$.

🎯Atmiņas paņēmiens

"Pitagors ar labojumu": sāc kā Pitagoru ($b^2 + c^2$), tad atņem "labojumu" $2bc\cos A$, kas kompensē to, ka leņķis nav taisns.

Loģikas pārbaude pēc leņķa:

• $A < 90°$ → $\cos A > 0$ → $a^2 < b^2 + c^2$ (mala īsāka nekā Pitagoram)
• $A > 90°$ → $\cos A < 0$ → $a^2 > b^2 + c^2$ (mala garāka — mīnuss reiz mīnuss!)

Šādi vari pārbaudīt atbildes ticamību bez pārrēķināšanas.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Leņķim jābūt STARP malām $b$ un $c$ (pretī meklējamai malai $a$). Ja dotais leņķis ir pretī kādai no zināmajām malām — tā ir sinusu teorēmas situācija.

⚠️ Plata leņķa kosinuss ir negatīvs: $\cos 120° = -\frac{1}{2}$. Tad $-2bc\cos A$ kļūst pozitīvs — divi mīnusi! Zīmju kļūda te ir klasika.

⚠️ Neaizmirsti beigās izvilkt sakni — teorēma dod $a^2$, nevis $a$.

✓ Pārbaudi sevi