Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Vienādojumi, kuros nezināmais atrodas zem trigonometriskas funkcijas: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$.
Tā kā sin un cos ir periodiskas funkcijas, atrisinājumu ir bezgalīgi daudz — tos pieraksta ar veselu skaitli $n \in \mathbb{Z}$.
Atrisināmība: $\sin x = a$ un $\cos x = a$ atrisināmi tikai tad, ja $|a| \leq 1$. Vienādojumam $\operatorname{tg} x = a$ der jebkurš $a$.
| Vienādojums | Atrisinājums |
|---|---|
| $\sin x = a$ | $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ |
| $\cos x = a$ | $x = \pm \arccos a + 2\pi n$ |
| $\operatorname{tg} x = a$ | $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$ |
Speciālgadījumi (vienkāršāk nekā vispārīgā formula):
Uzdevums: Atrisini $2\sin x - 1 = 0$.
1. solis. Izsaka: $\sin x = \dfrac{1}{2}$
2. solis. $|a| = \frac{1}{2} \leq 1$ — atrisinājums eksistē. $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$
3. solis. Vispārīgais atrisinājums:
$$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
Pārbaude: $n=0$: $x = \frac{\pi}{6}$ (30°) ✓; $n=1$: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (150°) — arī $\sin = \frac{1}{2}$ ✓
Vienības riņķis ir tavs labākais draugs: $\sin x = a$ — velc horizontālu līniju augstumā $a$; tā krusto riņķi 2 punktos. $\cos x = a$ — vertikālu līniju.
Kāpēc $\cos$ formulā ir $\pm$: abi krustpunkti ir simetriski pret $x$ asi — leņķi $\alpha$ un $-\alpha$. Tāpēc $\pm\arccos a + 2\pi n$.
Saliktākos vienādojumos ($2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$) lieto substitūciju $t = \sin x$ → parasts kvadrātvienādojums, tikai atceries $|t| \leq 1$.
⚠️ $\sin x = 2$ atrisinājuma NAV — pirms formulu lietošanas pārbaudi $|a| \leq 1$. Eksāmenā šādu "lamatu" vienādojumu mēdz iedot.
⚠️ Neaizmirsti $+\pi n$ / $+2\pi n$ — bez perioda pieraksta atbilde nav pilnīga (zaudē punktus).
⚠️ $\arcsin$ vērtības ir intervālā $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, $\arccos$ — intervālā $[0; \pi]$. $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, nevis $\frac{7\pi}{6}$.
⚠️ Dalīt vienādojumu ar $\cos x$ drīkst tikai pārliecinoties, ka $\cos x \neq 0$ (citādi pazaudē saknes).