Dispersija un standartnovirze

📖Kāpēc ar vidējo nepietiek?

Divām datu kopām var būt vienāds vidējais, bet pilnīgi atšķirīga izkliede: atzīmes $\{6, 6, 6\}$ un $\{2, 6, 10\}$ — abām vidējais $6$, bet otrā ir daudz "izkaisītāka".

Izkliedi mēra ar:

• Dispersiju $D$ — noviržu no vidējā kvadrātu vidējo vērtību,
• Standartnovirzi $\sigma = \sqrt{D}$ — to pašu, bet sākotnējās mērvienībās.

Jo lielāka $\sigma$, jo tālāk dati izkaisīti no vidējā.

∑Formulas

Dispersija ($\bar{x}$ — vidējais aritmētiskais, $n$ — datu skaits):

$D = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$

Standartnovirze:

$\sigma = \sqrt{D}$

Algoritms: ① atrodi vidējo $\bar{x}$; ② katrai vērtībai aprēķini novirzi $x_i - \bar{x}$; ③ novirzes kāpini kvadrātā; ④ atrodi kvadrātu vidējo (= dispersija); ⑤ izvelc sakni (= standartnovirze).

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Aprēķini dispersiju un standartnovirzi datiem $2, 4, 6$.

1. solis. Vidējais: $\bar{x} = \frac{2+4+6}{3} = 4$

2. solis. Novirzes: $2-4 = -2$; $4-4 = 0$; $6-4 = 2$

3. solis. Kvadrāti: $4, 0, 4$

4. solis. Dispersija: $D = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$

5. solis. Standartnovirze: $\sigma = \sqrt{8/3} \approx 1{,}63$

🎯Atmiņas paņēmiens

Kāpēc kvadrātā? Noviržu summa bez kvadrāta vienmēr ir $0$ (pozitīvās un negatīvās izlīdzinās) — kvadrāts padara visas novirzes pozitīvas.

Standartnovirze ir "vidējā kļūda" — aptuveni cik tālu tipiska vērtība atrodas no vidējā. Tā ir tajās pašās mērvienībās kā dati (cm, punkti, eiro) — tāpēc to lieto biežāk nekā dispersiju.

Ātrā loģika: ja visi dati vienādi → $\sigma = 0$. Jo platāk izkaisīti → jo lielāka $\sigma$.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Novirzes kāpina kvadrātā PIRMS vidējā ņemšanas — nevis saskaita novirzes (sanāktu 0).

⚠️ Neaizmirsti pēdējo soli — sakni! Dispersija un standartnovirze ir dažādi lielumi: $\sigma = \sqrt{D}$.

⚠️ Dispersija nevar būt negatīva — tā ir kvadrātu summa. Ja sanāk mīnuss, kaut kur ir rēķina kļūda.

⚠️ Pieskaitot visiem datiem konstanti, $\sigma$ nemainās (izkliede tā pati); reizinot datus ar $k$, $\sigma$ pieaug $|k|$ reizes.

✓ Pārbaudi sevi