Bernulli shēma

📖Kad lieto Bernulli shēmu?

Bernulli shēma apraksta situāciju, kur:

1. Notiek $n$ neatkarīgi mēģinājumi (eksperimenti)
2. Katrā mēģinājumā ir tikai 2 iznākumi: "veiksme" (varbūtība $p$) vai "neveiksme" (varbūtība $q = 1 - p$)
3. $p$ un $q$ nemainās starp mēģinājumiem

Klasiski piemēri:

• Monētas mešana $n$ reizes (krūts/cipars)
• Šāvējs šauj $n$ reizes ar trāpīšanas varbūtību $p$
• Bumbu velkam no urn $n$ reizes ar atgriešanu (lai $p$ paliek konstants)
• Eksāmena daudzizvēles tests ar $n$ jautājumiem un nejaušas atbildes uzminēšanas varbūtību $p = 1/4$

∑Bernulli formula

Varbūtība, ka $n$ mēģinājumos veiksme notiek tieši $k$ reizes:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

kur $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — kombinācijas.

Formula sastāv no 3 daļām:

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Šāvējs trāpa mērķī ar varbūtību $p = 0{,}7$. Viņš izšauj 5 reizes. Aprēķini varbūtību, ka tieši 3 šāvieni trāpīs.

Dotie: $n = 5$, $k = 3$, $p = 0{,}7$, $q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.

1. solis. Aprēķinām $C_5^3$:

$$C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{120}{6 \cdot 2} = 10$$

2. solis. Bernulli formulā:

$$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^2$$

$$= 10 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}09 = 10 \cdot 0{,}030 87 = 0{,}308 7$$

Atbilde: $P \approx 0{,}309$, jeb $\approx 30{,}9\%$.

Interpretācija: Apmēram 1 no 3 reizēm, kad šāvējs šauj 5 reizes, viņam trāpīs tieši 3 šāvieni (ne 2, ne 4).

🎯Atmiņas paņēmiens

"Kā un cik." Bernulli formula sastāv no divām daļām:

• Kā — cik secībās $k$ veiksmes var notikt no $n$ mēģinājumiem → $C_n^k$
• Cik — katras šādas secības varbūtība → $p^k q^{n-k}$ (reizinājums neatkarīgu notikumu)

Tāpēc formula = "cik dažādas secības" × "katras secības varbūtība".

Speciāli gadījumi (ātri jāatpazīst):

• $k = 0$ (nekādu veiksmju): $P_n(0) = q^n$ (visi neveiksmes)
• $k = n$ (visas veiksmes): $P_n(n) = p^n$
• Vismaz 1 veiksme: $P(\geq 1) = 1 - P(0) = 1 - q^n$

Pēdējais ir ļoti noderīgs: vieglāk aprēķināt "vismaz vienu" caur "neviena", jo formula vienkārša.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ $p + q = 1$, nevis $p + q = p$ vai jebkas cits. Veiksme un neveiksme aptver visus iespējamos iznākumus, tāpēc to varbūtību summa ir 1. Vienmēr pārbaudi.

⚠️ "Tieši $k$" vs "vismaz $k$". Bernulli formula dod varbūtību tieši $k$ reizes. Ja jautā "vismaz $k$" — vajag saskaitīt: $P(\geq k) = P(k) + P(k+1) + \ldots + P(n)$.

⚠️ Atgriešanas nosacījums. Bernulli shēma prasa, lai $p$ nemainās. Ja velkam bumbu no urn BEZ atgriešanas — pēc katras velkamas varbūtība mainās, tāpēc Bernulli neder, jālieto hipergeometriskā shēma.

Klasiska kļūda: "izvēlamies 3 kartes no kavas" — tas NAV Bernulli (bez atgriešanas, mainās varbūtība). Bet "metam monētu 5 reizes" IR Bernulli.

⚠️ Neatkarība. Mēģinājumiem jābūt neatkarīgiem. Ja viens iznākums ietekmē nākamos (piemēram, šāvēja noguruma efekts), Bernulli neder.

✓ Pārbaudi sevi