Plaknes un taisnes telpā

📖Plaknes un taisnes vienādojumi

Plakni telpā nosaka punkts un tai perpendikulārs vektors — normāle $\vec{n} = (A; B; C)$.

Plaknes vispārīgais vienādojums:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Koeficienti $A, B, C$ ir tieši normāles vektora koordinātes.

Taisni telpā nosaka punkts $M_0(x_0;y_0;z_0)$ un virziena vektors $\vec{s} = (m; n; p)$ — parametriskā formā: $x = x_0 + mt$, $y = y_0 + nt$, $z = z_0 + pt$.

∑Galvenās sakarības

Plakņu paralēlitāte / perpendikularitāte — pēc normālēm $\vec{n_1}, \vec{n_2}$:

• paralēlas: $\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}$ (proporcionālas koordinātes),
• perpendikulāras: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Punkta $(x_0;y_0;z_0)$ attālums līdz plaknei $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Dota plakne $2x - y + 2z - 3 = 0$. Atrod tās normāli un attālumu no punkta $P(1; 2; 3)$.

1. solis. Normāle = koeficienti: $\vec{n} = (2; -1; 2)$.

2. solis. Attālums:

$$d = \frac{|2\cdot1 - 2 + 2\cdot3 - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 3|}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1$$

Atbilde: normāle $(2;-1;2)$, attālums $1$.

🎯Atmiņas paņēmiens

Normāle "iznāk" no vienādojuma: plaknes $Ax+By+Cz+D=0$ normāle ir tieši $(A; B; C)$ — koeficienti pie $x, y, z$.

Attāluma formula 3D ir tā pati kā 2D taisnei, tikai ar trešo koordinātu $z$.

Plakņu savstarpējo novietojumu vienmēr nosaki pēc normālēm (paralēlas/perpendikulāras vektoru likumi).

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Normāle ≠ punkts uz plaknes. $(A;B;C)$ ir vektors PERPENDIKULĀRS plaknei, ne plaknes punkts.

⚠️ Attāluma formulā skaitītājā modulis, saucējā normāles garums — neaizmirsti $z$-locekli $C^2$.

⚠️ Taisnes virziena vektors un plaknes normāle ir dažādas lietas — taisne "iet pa" virziena vektoru, plakne ir "perpendikulāra" normālei.

✓ Pārbaudi sevi