11. klaseTrigonometrija

Sinusu teorēma — uzdevumi ar atrisinājumiem

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Sinusu teorēma — teorija, formulas un piemēri →
1. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 60°$, mala $a = 8$, $\angle B = 30°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: B) $4,62$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 60°$, mala $a = 8$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 30°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{8}{\sin 60°} = \dfrac{b}{\sin 30°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{8 \cdot \sin 30°}{\sin 60°} = \dfrac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 60° = 0.8660$, $\sin 30° = 0.5000$.
$b = \dfrac{8 \cdot 0.5000}{0.8660} \approx 4,62$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $13{,}86$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $3{,}46$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $8$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir mazāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir mazāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir mazāka par $8$ ✓
2. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 60°$, mala $a = 11$, $\angle B = 45°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: B) $8,98$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 60°$, mala $a = 11$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 45°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{11}{\sin 60°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{11 \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \dfrac{11 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 60° = 0.8660$, $\sin 45° = 0.7071$.
$b = \dfrac{11 \cdot 0.7071}{0.8660} \approx 8,98$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $13{,}47$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $6{,}74$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $11$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir mazāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir mazāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir mazāka par $11$ ✓
3. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 45°$, mala $a = 8$, $\angle B = 60°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: B) $9,8$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 45°$, mala $a = 8$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 60°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{8}{\sin 45°} = \dfrac{b}{\sin 60°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{8 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \dfrac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 45° = 0.7071$, $\sin 60° = 0.8660$.
$b = \dfrac{8 \cdot 0.8660}{0.7071} \approx 9,8$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6{,}53$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $4{,}9$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $8$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir lielāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir lielāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir lielāka par $8$ ✓
4. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 30°$, mala $a = 12$, $\angle B = 60°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: D) $20,78$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 30°$, mala $a = 12$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 60°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{12}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 60°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{12 \cdot \sin 60°}{\sin 30°} = \dfrac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 30° = 0.5000$, $\sin 60° = 0.8660$.
$b = \dfrac{12 \cdot 0.8660}{0.5000} \approx 20,78$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6{,}93$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $5{,}2$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $12$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir lielāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir lielāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir lielāka par $12$ ✓
5. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 30°$, mala $a = 8$, $\angle B = 60°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: C) $13,86$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 30°$, mala $a = 8$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 60°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{8}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 60°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{8 \cdot \sin 60°}{\sin 30°} = \dfrac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 30° = 0.5000$, $\sin 60° = 0.8660$.
$b = \dfrac{8 \cdot 0.8660}{0.5000} \approx 13,86$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4{,}62$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $3{,}46$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $8$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir lielāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir lielāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir lielāka par $8$ ✓
6. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 45°$, mala $a = 10$, $\angle B = 60°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: B) $12,25$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 45°$, mala $a = 10$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 60°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{10}{\sin 45°} = \dfrac{b}{\sin 60°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{10 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \dfrac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 45° = 0.7071$, $\sin 60° = 0.8660$.
$b = \dfrac{10 \cdot 0.8660}{0.7071} \approx 12,25$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8{,}16$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $6{,}12$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $10$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir lielāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir lielāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir lielāka par $10$ ✓
7. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 45°$, mala $a = 4$, $\angle B = 30°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: D) $2,83$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 45°$, mala $a = 4$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 30°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{4}{\sin 45°} = \dfrac{b}{\sin 30°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{4 \cdot \sin 30°}{\sin 45°} = \dfrac{4 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 45° = 0.7071$, $\sin 30° = 0.5000$.
$b = \dfrac{4 \cdot 0.5000}{0.7071} \approx 2,83$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $5{,}66$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $1{,}41$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $4$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir mazāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir mazāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir mazāka par $4$ ✓
8. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 45°$, mala $a = 11$, $\angle B = 60°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: A) $13,47$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 45°$, mala $a = 11$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 60°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{11}{\sin 45°} = \dfrac{b}{\sin 60°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{11 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \dfrac{11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 45° = 0.7071$, $\sin 60° = 0.8660$.
$b = \dfrac{11 \cdot 0.8660}{0.7071} \approx 13,47$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8{,}98$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $6{,}74$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $11$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir lielāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir lielāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir lielāka par $11$ ✓
9. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 30°$, mala $a = 6$, $\angle B = 45°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: B) $8,49$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 30°$, mala $a = 6$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 45°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{6}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{6 \cdot \sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 30° = 0.5000$, $\sin 45° = 0.7071$.
$b = \dfrac{6 \cdot 0.7071}{0.5000} \approx 8,49$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4{,}24$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $2{,}12$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $6$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir lielāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir lielāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir lielāka par $6$ ✓
10. uzdevums
Trijstūrī $\angle A = 30°$, mala $a = 4$, $\angle B = 45°$. Aprēķini malu $b$ (rezultātu noapaļo līdz 0,01).
Pareizā atbilde: B) $5,66$
Atrisinājums:
1. Sinusu teorēma. Jebkurā trijstūrī attiecība starp malu un PRETĒJĀ leņķa sinusu ir konstanta:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (kur $R$ ir apvilktās riņķa līnijas rādiuss).

2. Atzīmē, kas dots. $\angle A = 30°$, mala $a = 4$ (pretī leņķim $A$), $\angle B = 45°$. Meklē malu $b$ (pretī leņķim $B$).

3. Pielieto teorēmu. $\dfrac{4}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$

4. Izsaki $b$. $b = \dfrac{4 \cdot \sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

5. Aprēķini. $\sin 30° = 0.5000$, $\sin 45° = 0.7071$.
$b = \dfrac{4 \cdot 0.7071}{0.5000} \approx 5,66$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2{,}83$ — APGRIEZTA proporcija: sareizināts ar $\sin A$ un dalīts ar $\sin B$, nevis otrādi. Šī ir biežākā kļūda. Loģikas pārbaude: lielākam leņķim atbilst garāka mala.
• $1{,}41$ — abi sinusi SAREIZINĀTI, nevis dalīti. Teorēmā ir attiecība, ne reizinājums.
• $4$ — atstāta to pašu vērtību kā doto malu. Mala atkarīga no PRETĒJĀ leņķa lieluma — dažādiem leņķiem dažādas malas.

7. Saprātīguma pārbaude. Leņķis $B$ ir lielāks par leņķi $A$, tāpēc mala $b$ ir lielāka par malu $a$ — mūsu atbilde ir lielāka par $4$ ✓
▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

11. klases citi uzdevumi

Eksponenciāli vienādojumi uzdevumi →Logaritmi uzdevumi →Aritmētiskā progresija uzdevumi →Ģeometriskā progresija uzdevumi →Saliktās funkcijas $f(g(x))$ uzdevumi →Cilindrs uzdevumi →Sfēra un lode uzdevumi →Stereometrijas pamatlikumi uzdevumi →