11. klaseTrigonometrija

Kosinusa teorēma — uzdevumi ar atrisinājumiem

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Kosinusa teorēma — teorija, formulas un piemēri →
1. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 9$, $b = 3$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: C) $7,94$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 9$, $b = 3$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 9^2 + 3^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 81 + 9 - 2 \cdot 27 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 90 - 27$
$c^2 = 63$
$c = \sqrt{63} \approx 7,94$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $6$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $9,49$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $6 < c < 12$. Mūsu atbilde 7,94 der ✓
2. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 6$, $b = 10$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: D) $14$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 6$, $b = 10$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 60 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 136 + 60$
$c^2 = 196$
$c = \sqrt{196} \approx 14$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $16$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $4$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $11,66$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $4 < c < 16$. Mūsu atbilde 14 der ✓
3. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 8$, $b = 8$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: D) $13,86$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 8$, $b = 8$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 128 + 64$
$c^2 = 192$
$c = \sqrt{192} \approx 13,86$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $16$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $0$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $11,31$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $0 < c < 16$. Mūsu atbilde 13,86 der ✓
4. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 8$, $b = 9$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: B) $8,54$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 8$, $b = 9$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 64 + 81 - 2 \cdot 72 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 145 - 72$
$c^2 = 73$
$c = \sqrt{73} \approx 8,54$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $17$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $12,04$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 17$. Mūsu atbilde 8,54 der ✓
5. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 4$, $b = 3$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: C) $3,61$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 4$, $b = 3$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 16 + 9 - 2 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 25 - 12$
$c^2 = 13$
$c = \sqrt{13} \approx 3,61$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $7$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $5,00$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 7$. Mūsu atbilde 3,61 der ✓
6. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 9$, $b = 3$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: B) $10,82$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 9$, $b = 3$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 9^2 + 3^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 81 + 9 - 2 \cdot 27 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 90 + 27$
$c^2 = 117$
$c = \sqrt{117} \approx 10,82$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $6$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $9,49$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $6 < c < 12$. Mūsu atbilde 10,82 der ✓
7. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 4$, $b = 6$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: D) $5,29$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 4$, $b = 6$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 24 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 52 - 24$
$c^2 = 28$
$c = \sqrt{28} \approx 5,29$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $10$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $2$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $7,21$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $2 < c < 10$. Mūsu atbilde 5,29 der ✓
8. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 5$, $b = 4$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: D) $7,81$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 5$, $b = 4$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 25 + 16 - 2 \cdot 20 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 41 + 20$
$c^2 = 61$
$c = \sqrt{61} \approx 7,81$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $6,40$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 9$. Mūsu atbilde 7,81 der ✓
9. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 3$, $b = 10$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: D) $8,89$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 3$, $b = 10$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 3^2 + 10^2 - 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 9 + 100 - 2 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 109 - 30$
$c^2 = 79$
$c = \sqrt{79} \approx 8,89$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $13$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $7$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $10,44$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $7 < c < 13$. Mūsu atbilde 8,89 der ✓
10. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 10$, $b = 9$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: B) $9,54$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 10$, $b = 9$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 10^2 + 9^2 - 2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 100 + 81 - 2 \cdot 90 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 181 - 90$
$c^2 = 91$
$c = \sqrt{91} \approx 9,54$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $19$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $13,45$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 19$. Mūsu atbilde 9,54 der ✓
▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

11. klases citi uzdevumi

Eksponenciāli vienādojumi uzdevumi →Logaritmi uzdevumi →Aritmētiskā progresija uzdevumi →Ģeometriskā progresija uzdevumi →Saliktās funkcijas $f(g(x))$ uzdevumi →Cilindrs uzdevumi →Sfēra un lode uzdevumi →Stereometrijas pamatlikumi uzdevumi →