Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Cilindrs ir telpisks ķermenis, ko ierobežo:
Apzīmējumi:
Taisns cilindrs (skolas matemātikā gandrīz vienmēr) ir tāds, kura sānu virsma ir perpendikulāra pamatiem. Tad sānu virsmas atvērums ir taisnstūris ar izmēriem $h \times 2\pi r$ (apjoms × augstums).
| Pamata laukums | $S_{pam} = \pi r^2$ |
| Sānu virsmas laukums | $S_{sanu} = 2\pi r h$ |
| Pilns virsmas laukums | $S_{pilns} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h)$ |
| Tilpums | $V = \pi r^2 h = S_{pam} \cdot h$ |
| Aksiālais šķēlums | Taisnstūris ar izmēriem $2r \times h$ (diametrs × augstums) |
Uzdevums: Cilindra pamata rādiuss ir $5$ cm, augstums $12$ cm. Aprēķini tilpumu un pilno virsmas laukumu.
1. solis. Tilpums:
$$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 300\pi \text{ cm}^3 \approx 942{,}48 \text{ cm}^3$$
2. solis. Pilna virsma:
$$S_{pilns} = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 12) = 2\pi \cdot 5 \cdot 17 = 170\pi \text{ cm}^2 \approx 534{,}07 \text{ cm}^2$$
Atbilde: $V = 300\pi$ cm³, $S = 170\pi$ cm².
Piezīme: CE eksāmenā atbildi parasti atstāj formā ar $\pi$ (precīza), neuzlikt $\pi \approx 3{,}14$ kā vērtību — tas pasliktina precizitāti.
Sānu virsma kā taisnstūris. Iedomājies, ka cilindrs ir kā saritināts papīra rullis. Ja to atritinātu, sānu virsma kļūtu par taisnstūri:
Tāpēc $S_{sanu} = h \cdot 2\pi r = 2\pi r h$.
Tilpums kā prizma. Cilindrs ir kā prizma ar apaļu pamatu. Visu prizmu (un cilindru) tilpums = pamata laukums × augstums. Tāpēc $V_{cilindrs} = \pi r^2 \cdot h$.
Iegaumē — visiem "stabu" tipa ķermeņiem (prizmas, cilindri) tilpums = pamats × augstums. Tikai "smailiem" (piramīda, konuss) ir $\dfrac{1}{3}$ priekšā.
⚠️ Sajaukt $r$ un $d$. Uzdevumā var dot diametru, ne rādiusu. Pirms ievietot formulā, pārbaudi: ja dots diametrs $d$, tad $r = d/2$.
Piemērs: "Cilindra pamata diametrs ir $10$ cm". Tilpumam: $r = 5$, nevis $r = 10$.
⚠️ Pilnā virsma vs. sānu virsma. Uzmanīgi izlasi, ko prasa:
Praktiski: krāsojot ir sānu, dabuvīgi vajadzīgs apjoms ($V$).
⚠️ Aksiālais šķēlums. Tas iet caur cilindra asi (centrālo taisni). Tāpēc šķēlums ir taisnstūris ar diametru un augstumu — NEVIS riņķis (riņķis būtu pamata paralēls šķēlums).