Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Vektors telpā ir virzīts nogrieznis ar trim koordinātēm: $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$.
Vektors no punkta $A(x_1;y_1;z_1)$ uz $B(x_2;y_2;z_2)$:
$\vec{AB} = (x_2-x_1;\; y_2-y_1;\; z_2-z_1)$
Visas 2D vektoru darbības vienkārši paplašinās ar trešo koordinātu $z$.
Garums (modulis):
$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
Saskaitīšana / reizināšana ar skaitli: pa koordinātēm.
Skalārais reizinājums:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$
Perpendikularitāte: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.
Leņķis: $\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.
Uzdevums: $\vec{a} = (1; 2; 2)$, $\vec{b} = (2; 0; -1)$. Atrod $|\vec{a}|$ un $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
1. solis. Garums:
$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$$
2. solis. Skalārais reizinājums:
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot2 + 2\cdot0 + 2\cdot(-1) = 2 + 0 - 2 = 0$$
Secinājums: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ → vektori ir perpendikulāri!
3D = 2D + viena koordināta. Visas formulas tās pašas, tikai pieliec $z$-locekli: garumā $+a_3^2$, skalārā reizinājumā $+a_3 b_3$.
Skalārais reizinājums = 0 → perpendikulāri. Tas ir ātrākais perpendikularitātes tests.
Garums = attālums no sākumpunkta līdz vektora galam (3D Pitagors).
⚠️ Skalārais reizinājums ir SKAITLIS, ne vektors. $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ — viens skaitlis.
⚠️ Garumā visas trīs koordinātes kvadrātā — neaizmirsti $z$.
⚠️ $\vec{AB} = B - A$ (gala mīnus sākuma koordinātes), ne otrādi. Sajaucot — sanāk pretējs vektors.