11. klaseAlgebra un funkcijas

Ģeometriskā progresija

Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.

📖Kas ir ģeometriskā progresija?

Ģeometriskā progresija ir skaitļu virkne, kur katrs nākamais loceklis ir iegūts iepriekšējo reizinot ar konstanti — kvocientu $q$.

Piemēri:

$2, 6, 18, 54, \ldots$ — kvocients $q = 3$ (katru reizinam ar 3)
$100, 50, 25, 12{,}5, \ldots$ — kvocients $q = 0{,}5$ (samazinās uz pusi)
$1, -2, 4, -8, 16, \ldots$ — kvocients $q = -2$ (mainās zīme)

Apzīmējumi:

$b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n$ — progresijas locekļi
$q$ — kvocients ($q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$, ja $b_n \neq 0$)
$S_n$ — pirmo $n$ locekļu summa

∑Galvenās formulas

$n$-tais loceklis	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
Summa $S_n$	$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, ja $q \neq 1$
Bezgalīga summa	$S_\infty = \dfrac{b_1}{1 - q}$, ja $\|q\| < 1$ (augstākais līmenis)
Vidējais loceklis	$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ (katrs loceklis ir blakus locekļu ģeometriskais vidējais)

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Ģeometriskās progresijas pirmais loceklis $b_1 = 5$, kvocients $q = 2$. Atrod 6. locekli un pirmo 6 locekļu summu.

1. solis. Sestais loceklis pēc formulas $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$$b_6 = 5 \cdot 2^{6-1} = 5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160$$

2. solis. Summa $S_6$ pēc formulas:

$$S_6 = 5 \cdot \dfrac{2^6 - 1}{2 - 1} = 5 \cdot \dfrac{64 - 1}{1} = 5 \cdot 63 = 315$$

Atbilde: $b_6 = 160$, $S_6 = 315$.

Pārbaude: Saskaitām locekļus tieši — $5, 10, 20, 40, 80, 160$. Summa $= 5+10+20+40+80+160 = 315$. ✓

🎯Atmiņas paņēmiens

Atšķirība no aritmētiskās progresijas: aritmētikā pieskaitām kopēju starpību $d$, ģeometriskā reizinam ar kopēju kvocientu $q$.

Aritmētiskā	Ģeometriskā
$a_n = a_1 + (n-1)d$	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2}$	$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$

Praktisks piemērs: ja iesāc krāt 100 € mēnesī un katru mēnesi pievieno 10 € vairāk — tā ir aritmētiska. Bet ja saglabā 100 € un katru mēnesi to vērtība palielinās par 1% (procenti) — tā ir ģeometriska ar $q = 1{,}01$.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, NEVIS $b_1 \cdot q^n$.

Pakāpe ir $n - 1$, nevis $n$. Iemesls — pirmais loceklis ($n=1$) jau IR $b_1$ pats, tāpēc nevajag reizināt ar $q$. Tikai sākot ar otro locekli reizina.

Pārbaude: $b_1 = b_1 \cdot q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$. ✓

⚠️ Negatīvs kvocients maina zīmes. Ja $q < 0$, locekļi mainās starp pozitīviem un negatīviem. Piemērs: $b_1 = 3, q = -2$ → $3, -6, 12, -24, 48, \ldots$

⚠️ Summas formula $S_n$ NEDARBOJAS, ja $q = 1$. Tad visi locekļi ir vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

⚠️ Bezgalīgā summa $S_\infty$ eksistē TIKAI ja $|q| < 1$. Citādi summa pieaug bezgalīgi (nav īsta summa).

✓ Pārbaudi sevi

Ģeometriskās progresijas $b_1 = 2$, $q = 3$. Cik ir $b_4$?

A) $24$
B) $54$
C) $162$
D) $486$

Pareizā atbilde: B) $54$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

Bezgalīgas ģeometriskas progresijas summa $S_\infty$ eksistē, ja:

A) $q > 1$
B) $q < 0$
C) $|q| < 1$
D) $q$ ir vesels skaitlis

Pareizā atbilde: C) $|q| < 1$

Bezgalīgā summa konverģē TIKAI ja absolūtā vērtība $|q| < 1$ (tas ir, $-1 < q < 1$, izņemot $q = 0$).

▶ Atvērt interaktīvi un trenēties — MatemPro app

11. klases citas tēmas

Logaritmi →Trigonometrijas pamatvērtības →Eksponenciāli vienādojumi →Pamatidentitāte $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ →Aritmētiskā progresija →Sinusu teorēma →