Parabola, elipse, hiperbola

📖Koniskie griezumi

Koniskie griezumi rodas, plaknei šķeļot konusu dažādos leņķos: riņķis, elipse, parabola, hiperbola.

• Parabola — punktu kopa vienādā attālumā no fokusa un direktrises (līnijas). Grafiks funkcijai $y = ax^2 + bx + c$.
• Elipse — "saspiesta riņķa līnija"; punktu summa attālumu līdz diviem fokusiem ir konstanta.
• Hiperbola — divas atvērtas līknes; attālumu starpība līdz fokusiem konstanta.

∑Kanoniskie vienādojumi (centrs sākumpunktā)

Parabola: $y = ax^2$ (virsotne sākumpunktā). Virsotne $y = ax^2+bx+c$ parabolai: $x_v = -\dfrac{b}{2a}$.

Elipse:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

$a$ un $b$ — pusass garumi. Ja $a = b$ → riņķa līnija.

Hiperbola:

$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Atšķirības zīme (mīnuss) ir tas, kas atšķir hiperbolu no elipses.

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Nosaki līknes veidu un parametrus: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

1. solis. Abi locekļi ar $+$ un $=1$ → elipse.

2. solis. Pusasis: $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ (pa $x$); $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$ (pa $y$).

3. solis. Elipse stiepjas no $-5$ līdz $5$ pa $x$ asi un no $-3$ līdz $3$ pa $y$ asi.

Parabolas piemērs: $y = x^2 - 4x + 3$ virsotne: $x_v = \frac{4}{2} = 2$, $y_v = 4 - 8 + 3 = -1$ → virsotne $(2; -1)$.

🎯Atmiņas paņēmiens

Zīme izšķir līkni: $+$ starp $x^2$ un $y^2$ → elipse (slēgta); $-$ → hiperbola (atvērta); tikai viens kvadrātiskais loceklis → parabola.

Elipsē pusass ir SAKNE no saucēja: $\frac{x^2}{25}$ → pusass $5$, ne $25$.

Parabolas virsotne vienmēr $x_v = -\frac{b}{2a}$; tad $y_v$ atrod, ievietojot $x_v$.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Pusass ≠ saucējs: $\frac{x^2}{16}$ dod pusasi $4$ ($=\sqrt{16}$), ne $16$.

⚠️ Elipse vs hiperbola atšķiras tikai ar zīmi starp locekļiem ($+$ vs $-$) — uzmanīgi izlasi.

⚠️ Parabolas virsotnes formulā ir mīnuss: $x_v = -\frac{b}{2a}$. Pie $y = x^2 - 4x$: $x_v = -\frac{-4}{2} = 2$ (pozitīvs).

✓ Pārbaudi sevi