Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Hiperģeometriskā shēma apraksta izvēli bez atlikšanas no kopas, kurā ir divu veidu objekti (piem., labi/bojāti, vīrieši/sievietes).
Tipisks uzdevums: "No $N$ objektiem $K$ ir īpašie. Izvēlas $n$. Kāda varbūtība, ka tieši $k$ no izvēlētajiem ir īpašie?"
Atrisinājums balstās uz kombināciju $C_n^k$ skaitīšanu (kārtība nesvarīga).
$P = \dfrac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$
kur:
Skaitītājs: (kā izvēlēties $k$ īpašos) × (kā izvēlēties pārējos $n-k$ no neīpašajiem). Saucējs: visi veidi izvēlēties $n$ no $N$.
Uzdevums: Kastē 10 detaļas, no kurām 3 bojātas. Izvēlas 2. Kāda varbūtība, ka tieši 1 bojāta?
Dati: $N=10$, $K=3$ (bojātas), $n=2$, $k=1$.
1. solis. Bojātās: $C_3^1 = 3$ veidi. Labās: $C_7^1 = 7$ veidi.
2. solis. Visi veidi: $C_{10}^2 = \dfrac{10\cdot9}{2} = 45$.
3. solis.
$$P = \frac{C_3^1 \cdot C_7^1}{C_{10}^2} = \frac{3 \cdot 7}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$$
Atbilde: $\frac{7}{15} \approx 0{,}47$.
Skaitītājs = "īpašie reiz pārējie": $C_K^k$ (cik vēlamies) × $C_{N-K}^{n-k}$ (pārējie aizpilda atlikušās vietas).
Pārbaude: apakšindeksu summa skaitītājā ($K + (N-K) = N$) un augšindeksu summa ($k + (n-k) = n$) jāsakrīt ar saucēja $C_N^n$.
Šī ir "bez atlikšanas" shēma — atšķirībā no Bernulli (ar atlikšanu, fiksēta varbūtība).
⚠️ Nejauc ar Bernulli shēmu. Hiperģeometriskā = bez atlikšanas (kombinācijas); Bernulli = ar atlikšanu / neatkarīgi mēģinājumi (pakāpes).
⚠️ Skaitītājā abi reizinātāji — gan īpašo, gan neīpašo izvēle. Aizmirstot otro, atbilde nepareiza.
⚠️ Pārliecinies, ka $C_{N-K}^{n-k}$ indeksi ir derīgi (ja vēlamies vairāk īpašo, nekā to ir, varbūtība = 0).