10. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 3x + 2 = 0$, tāpēc $p = -3$, $q = 2$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $3$ un reizinājumā $2$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $2$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 2 = 2$ (summa $3$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 1$:   $1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ ✓
$x = 2$:   $2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -1, x_2 = -2$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-1) + (-2) = -3$, kas neatbilst saknes summai $3$.
• $x_1 = 2, x_2 = 3$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $5$ un reizinājums $6$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($3$ un $2$).
• $x_1 = 1, x_2 = 4$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{3 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Pakāpju īpašība. Reizinot pakāpes ar VIENĀDU bāzi, kāpinātājus saskaita:
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$.

2. Kāpēc tā? Pakāpe nozīmē atkārtotu reizinājumu:
$3^{6} = \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{6 \text{ reizes}}$
$3^{4} = \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{4 \text{ reizes}}$
Reizinājumā kopā $6 + 4 = 10$ reizinātāju, visi $3$.

3. Lietojam mūsu uzdevumam.
$3^{6} \cdot 3^{4} = 3^{6+4} = 3^{10}$.

4. Atbilde. $3^{10}$ (skaitliski $= 59049$, bet eksponenta forma ir gan īsāka, gan precīzāka).

5. Distraktoru analīze.
• $3^{24}$ — kāpinātāji sareizināti, nevis saskaitīti. Tā ir vissvarīgākā kļūda: jaucas reizināšanas likums $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ar pakāpes pakāpes likumu $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• $3^{11}$ — kāpinātāji saskaitīti, bet pieskaitīts viens lieks. Tipiska "off-by-one" kļūda, kas rodas, ja, piem., domā ka rezultātā vajag pieskaitīt pašu bāzi vai $1$.
• $3^{9}$ — par 1 par mazs eksponents. Bieža kļūda, ja viens no kāpinātājiem skaitīts kā $0$, nevis $1$, vai aizmirsts viens reizinātājs.

6. Bieža kļūda. NEREIZINI kāpinātājus! $3^{6} \cdot 3^{4} \ne 3^{24}$. Reizināt liek pakāpes pakāpē: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Atrisinājums:
Moduļa vienādojums. $|x| = 12$ (kur $12 > 0$) nozīmē, ka $x$ atrodas $12$ vienības no $0$ — abos virzienos.

Tātad $x = 12$ vai $x = -12$ — divas saknes.

Atrisinājums:
Sadalām skaitītāju. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

$\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ (kad $x \ne 3$).

Pie $x = 6$: $6 + 3 = 9$.

Atrisinājums:
Zīmes analīze. Ja $k > 0$ — zari I un III kvadrantā; ja $k < 0$ — II un IV.

Šeit $k = -4$ ($k < 0$), tātad zari ir II un IV kvadrantā.