Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Faktoriāls $n!$ ir visu naturālo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$
Piemēri: $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$. Pēc definīcijas: $0! = 1$.
Kombinācijas $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties $k$ elementus no $n$ (secībai NAV nozīmes):
$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
Tipiski piemēri:
| Veids | Formula | Secība |
|---|---|---|
| Permutācijas $P_n$ | $n!$ | Svarīga (sakārtojums) |
| Variācijas $A_n^k$ | $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ | Svarīga (sakārtojums no $n$) |
| Kombinācijas $C_n^k$ | $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ | NAV svarīga |
Sakarība: $A_n^k = C_n^k \cdot k!$ (variācijas = kombinācijas × sakārtojumi).
Uzdevums: Klasē 20 skolēnu. Cik veidos var izvēlēties 3 cilvēku komandu?
Vērtējam: komandā secībai nav nozīmes (Anna+Bērns+Cilvēks = Cilvēks+Anna+Bērns). Tāpēc kombinācijas.
$$C_{20}^3 = \dfrac{20!}{3! \cdot 17!} = \dfrac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{6840}{6} = 1140$$
Atbilde: $1140$ veidos.
Cits piemērs: cik veidos var sakārtot 5 grāmatas plauktā?
$5! = 120$ veidos (permutācijas — secībai ir nozīme).
"Secībai ir nozīme?" Tas ir pirmais jautājums kombinatorikas uzdevumos:
Ātrāks aprēķins $C_n^k$: reti vajag rēķināt visu $n!$. Pielieto reizināšanu un saīsināšanu:
$C_{20}^3 = \dfrac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}$ — skaitītājā 3 augstākie skaitļi, saucējā $3!$.
Iegaumē mazās vērtības: $C_n^0 = 1$, $C_n^1 = n$, $C_n^n = 1$, $C_n^{n-1} = n$. Arī $C_n^k = C_n^{n-k}$ (simetrija).
⚠️ $C_n^k$ vai $A_n^k$? Vissvarīgākā kombinatorikas izvēle. Ja sajauc — atbilde nepareiza.
Tests: "Vai pārkārtošana dod atšķirīgu rezultātu?" Ja JĀ — variācijas/permutācijas. Ja NĒ — kombinācijas.
⚠️ $0! = 1$, nevis 0. Tā ir konvencija (vajadzīga, lai formulas darbotos). Piem., $C_n^n = \dfrac{n!}{n! \cdot 0!} = 1$ tikai tad, kad $0! = 1$.
⚠️ Bez atgriešanas vs. ar atgriešanu. Kombinācijas formula derē TIKAI bez atgriešanas (katru elementu izvēlas vienreiz). Ar atgriešanu — citas formulas.