10. klaseAlgebra un funkcijas

Nevienādības

Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.

📖Kas ir nevienādība?

Nevienādība ir matemātiska izteiksme ar zīmēm $<$, $>$, $\leq$, $\geq$ vietā $=$.

Piemēri:

$2x + 3 > 7$ — lineāra
$x^2 - 5x + 6 \leq 0$ — kvadrātiska
$\dfrac{x-1}{x+2} \geq 0$ — daļveida

Risinājums ir visi $x$, kuriem nevienādība ir patiesa. Parasti rezultāts ir intervāls vai intervālu apvienojums.

∑Galvenās īpašības

Pieskaitīšana/atņemšana	Pieskaita vai atņem to pašu skaitli abām pusēm — zīme nemainās
Reizināšana ar pozitīvu	Zīme nemainās
Reizināšana ar negatīvu	Zīme MAINĀS: $< \to >$, $\leq \to \geq$ utt.

Intervālu apzīmējumi:

$x > 3$ → $(3; +\infty)$, atvērts (3 NEietverts)
$x \geq 3$ → $[3; +\infty)$, slēgts (3 IEietverts)
$-2 < x < 5$ → $(-2; 5)$
$x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$ — divu intervālu apvienojums

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Atrisini $-3x + 5 > 14$.

1. solis. Atņem 5: $-3x > 9$.

2. solis. Dalit ar $-3$. ZĪME MAINĀS (jo dalām ar negatīvu)!

$$x < -3$$

Atbilde: $x \in (-\infty; -3)$.

Kvadrātnevienādība $x^2 - x - 6 < 0$:

1. Atrod $x^2 - x - 6 = 0$ saknes: $D = 1 + 24 = 25$, $x = (1 \pm 5)/2$. Saknes: $-2$ un $3$.

2. Parabola atvērta uz augšu ($a = 1 > 0$). Tā ir negatīva STARP saknēm.

Atbilde: $x \in (-2; 3)$.

🎯Atmiņas paņēmiens

"Reizinot/dalot ar negatīvu — zīmi apgriež." Tas ir nevienādību visgalvenākais noteikums. Ja aizmirsti — visa atbilde nepareiza.

Kvadrātnevienādības "Ūdens trauks" metode:

Atrod $ax^2 + bx + c = 0$ saknes — sauc tos par $x_1, x_2$ (ja $x_1 < x_2$)
Ja parabola atvērta uz augšu ($a > 0$):
- $ax^2 + bx + c < 0$ → $x \in (x_1; x_2)$ — STARP saknēm
- $ax^2 + bx + c > 0$ → $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$ — ĀRPUS
Ja parabola atvērta uz leju ($a < 0$) — pretēji

Iedomājies parabolu kā ūdens trauku — negatīvās vērtības ir "iekšā", pozitīvās — "ārā".

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Aizmirst pārmetināt zīmi pie negatīva. Visizplatītākā nevienādību kļūda.

Pārbaude: izvēlies vienu $x$ no atbildes un ievieto sākotnējā nevienādībā — vai patiesība?

⚠️ Sajaukt $<$ un $\leq$. Ja zīme ir $<$ (stingra), saknes NAV iekļautas atbildē. Ja $\leq$, IR iekļautas. Atspoguļo intervāla apzīmējumā: atvērts vai slēgts kvadrāts.

⚠️ Daļveida nevienādības — saucējs $\neq 0$. $\dfrac{x-1}{x+2} \geq 0$ → $x \neq -2$. Tas vienmēr no atbildes izņem.

✓ Pārbaudi sevi

Atrisini $-2x \geq 6$

A) $x \geq -3$
B) $x \leq -3$
C) $x \geq 3$
D) $x \leq 3$

Pareizā atbilde: B) $x \leq -3$

Dalot ar $-2$, zīme mainās: $x \leq -3$.

Nevienādības $x^2 < 4$ atrisinājums:

A) $x < 2$
B) $x < -2$
C) $-2 < x < 2$
D) $x > 2$

Pareizā atbilde: C) $-2 < x < 2$

$x^2 - 4 < 0$, saknes $\pm 2$, parabola uz augšu → STARP saknēm: $-2 < x < 2$.

▶ Atvērt interaktīvi un trenēties — MatemPro app

10. klases citas tēmas

Pakāpes un saknes →Funkcijas un to grafiki →Kubs un prizma →Vektori (2D) →Taisnes (paralēlas, perpendikulāras) →Klasiskā varbūtība →