Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Vektors ir vērsts nogrieznis — tam ir garums (modulis) un virziens.
Apzīmē $\vec{a}$ vai $\vec{AB}$ (no $A$ uz $B$).
Plaknē vektoru pieraksta ar koordinātām:
$\vec{a} = (x; y)$
No diviem punktiem: ja $A(x_1; y_1)$ un $B(x_2; y_2)$, tad
$\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$
"Gala mīnus sākuma koordinātes."
| Modulis (garums) | $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ |
| Summa | $\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b; y_a + y_b)$ |
| Starpība | $\vec{a} - \vec{b} = (x_a - x_b; y_a - y_b)$ |
| Reizinājums ar skaitli | $k \vec{a} = (kx; ky)$ |
| Skalārreizinājums | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$ |
| Paralelitāte | $\vec{a} \parallel \vec{b}$ ja $\dfrac{x_a}{x_b} = \dfrac{y_a}{y_b}$ (proporcionālas koord.) |
Uzdevums: Doti punkti $A(1; 2)$ un $B(4; 6)$. Atrod vektora $\vec{AB}$ koordinātes un garumu.
1. solis. Koordinātes:
$$\vec{AB} = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$$
2. solis. Garums:
$$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
Atbilde: $\vec{AB} = (3; 4)$, garums $= 5$.
Vai mēs to atpazīstam? 3-4-5 Pitagora trijnieks! Garums no $(1;2)$ līdz $(4;6)$ ir 5.
"Gala mīnus sākuma." Vektora koordinātes no diviem punktiem = $B - A$ (otrais punkts mīnus pirmais).
Vektoru modulis = Pitagora teorēma. $|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2$ — tieši tas pats, kas attālums no $(0;0)$ uz $(x;y)$.
Perpendikulāri vektori: ja $\vec{a} \perp \vec{b}$, tad $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (skalārreizinājums nulle).
Piemērs: $\vec{a} = (3; 4)$, $\vec{b} = (-4; 3)$. Skalārreizinājums: $3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$. Tāpēc tie perpendikulāri.
⚠️ Sajaukt $A - B$ ar $B - A$. Vektors $\vec{AB}$ (no $A$ uz $B$) = $B - A$, NEVIS $A - B$. Iezīme ir bultiņas virziens.
$\vec{AB} = -\vec{BA}$ — pretējais virziens, pretēja zīme.
⚠️ Vektoru saskaitīšana grafiski. Paralelograma noteikums: $\vec{a} + \vec{b}$ ir paralelograma diagonāle (no kopējā sākuma).
⚠️ Punkti vs. vektori. Punktiem koordinātes (piem., $(1; 2)$). Vektoriem arī (piem., $(3; 4)$). Tas pats apzīmējums, atšķirīga nozīme. Punkts = pozīcija plaknē. Vektors = pārvietojums.