10. klaseĢeometrija

Riņķi un leņķi

Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.

📖Riņķa elementi

Riņķa līnijas un riņķa pamatelementi:

Centrs $O$ — viduspunkts
Rādiuss $r$ vai $R$ — attālums no centra līdz riņķa līnijai
Diametrs $d = 2r$ — taisne caur centru, kas savieno divus riņķa līnijas punktus
Horda — taisne, kas savieno divus riņķa līnijas punktus (bez nosacījuma iet caur centru)
Loka — riņķa līnijas daļa starp diviem punktiem
Pieskare — taisne, kas pieskaras riņķim tikai vienā punktā (perpendikulāra rādiusam pieskaršanās punktā)
Sektors — riņķa daļa starp diviem rādiusiem (kā "torta gabals")
Segments — riņķa daļa starp hordu un loku

∑Leņķi riņķī

Centra leņķis	Vienāds ar loku (grādos), uz kura balstās
Ievilkts leņķis	Pusi no centra leņķa: $\angle = \dfrac{1}{2} \cdot $loks
Pieskare perpendikulāra rādiusam	Pieskaršanās punktā $\angle = 90°$

Riņķa laukums: $S = \pi r^2$. Apkārtmērs: $C = 2\pi r$.

Sektora laukums: $S_{sekt} = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360°}$ (kur $\alpha$ — leņķis grādos).

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Riņķī ar rādiusu $6$ cm ievilkts trijstūris, kura viena mala ir riņķa diametrs. Pretī esošais leņķis ir $30°$. Atrod citas malas garumu.

1. solis. Tā kā mala ir diametrs, pretī esošais leņķis ievilkts uz pusriņķī → $90°$. Bet uzdevumā leņķis ir $30°$. Tas ir CITS leņķis trijstūrī.

Trijstūris ir taisnleņķa, hipotenūza = diametrs = $12$ cm, viens leņķis $30°$.

2. solis. Pretkatete pretī $30°$: $a = 12 \cdot \sin 30° = 12 \cdot 0{,}5 = 6$ cm.

Otra katete: $b = 12 \cdot \cos 30° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ cm.

Atbilde: mali $6$ un $6\sqrt{3}$ cm.

🎯Atmiņas paņēmiens

"Pieskare ⊥ rādiusam." Pieskares pamatīpašība. Vienmēr pieskaršanās punktā veidojas taisnleņķis.

"Ievilkts leņķis = pusi no centra leņķa." Šī ir tirgus zelta noteikums riņķī leņķiem.

Sekas:

Ievilkti leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku — VIENĀDI
Ievilkts leņķis uz diametra — vienmēr $90°$ (Talesa teorēma)

Pieskare un horda leņķis. Ja no riņķa punkta novelk pieskari un hordu, tad leņķis starp tām = ievilktajam leņķim, kas balstās uz hordas otrās puses loku.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Sajaukt rādiusu un diametru. $d = 2r$. Klasiska kļūda — formulā ievietot $d$ pareizajā $r$ vietā.

⚠️ Sektora vs. riņķa laukums. Sektora laukums ir DAĻA no visa riņķa laukuma — proporcionāli leņķim.

⚠️ Loka garums. Loka garums (cm) ir DAĻA no apkārtmēra: $L = \dfrac{2\pi r \alpha}{360°}$. NEVIS pati grāda vērtība.

⚠️ Centra leņķi mēra grādos vai radiānos. Skolā vienmēr GRĀDOS. Radiāni nāk vēlāk.

✓ Pārbaudi sevi

Riņķa rādiuss $5$ cm. Laukums:

A) $5\pi$
B) $10\pi$
C) $25\pi$
D) $100\pi$

Pareizā atbilde: C) $25\pi$

$S = \pi r^2 = \pi \cdot 25 = 25\pi$ cm².

Centra leņķis ir $120°$. Sektora laukums no $r = 6$:

A) $6\pi$
B) $12\pi$
C) $24\pi$
D) $36\pi$

Pareizā atbilde: B) $12\pi$

$S = \dfrac{\pi \cdot 36 \cdot 120}{360} = 12\pi$.

▶ Atvērt interaktīvi un trenēties — MatemPro app

10. klases citas tēmas

Pakāpes un saknes →Funkcijas un to grafiki →Nevienādības →Kubs un prizma →Vektori (2D) →Taisnes (paralēlas, perpendikulāras) →