Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Vidējais ģeometriskais (vidējais proporcionālais) diviem pozitīviem skaitļiem $a$ un $b$ ir:
$g = \sqrt{a \cdot b}$
Tas apmierina proporciju $\dfrac{a}{g} = \dfrac{g}{b}$, t.i., $g^2 = ab$.
Taisnleņķa trijstūrī augstums, vilkts uz hipotenūzu, sadala to divos nogriežņos un veido vairākas vidējā ģeometriskā sakarības (Eiklīda teorēma).
Augstums $h$ no taisnā leņķa uz hipotenūzu sadala to nogriežņos $p$ un $q$:
$h = \sqrt{p \cdot q}$ (augstums = pamatu vidējais ģeometriskais)
$a = \sqrt{p \cdot c}$, $b = \sqrt{q \cdot c}$ (katete = projekcijas un hipotenūzas vidējais)
kur $c = p + q$ — hipotenūza, $a, b$ — katetes, $p, q$ — katešu projekcijas uz hipotenūzas.
Vidējo lielumu nevienādība: $\sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2}$ (ģeometriskais ≤ aritmētiskais).
Uzdevums: Taisnleņķa trijstūrī augstums uz hipotenūzu sadala to nogriežņos $p = 4$ un $q = 9$. Atrod augstumu.
1. solis. Eiklīda teorēma:
$$h = \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$$
Atbilde: $h = 6$.
Vidējā ģeometriskā piemērs: skaitļu $2$ un $8$ vidējais ģeometriskais ir $\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$ (kamēr aritmētiskais ir $5$ — vienmēr lielāks vai vienāds).
Augstums = projekciju vidējais ģeometriskais: $h = \sqrt{pq}$. Katete = "savas" projekcijas un visas hipotenūzas vidējais.
Atmiņas tēls: vidējais ģeometriskais "savieno" lielumus caur reizinājumu un sakni (atšķirībā no aritmētiskā, kas caur summu).
$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ vienmēr — ģeometriskais nekad nepārsniedz aritmētisko (vienādi tikai ja $a = b$).
⚠️ Vidējais ģeometriskais ≠ vidējais aritmētiskais. $\sqrt{ab}$, ne $\frac{a+b}{2}$.
⚠️ Eiklīda teorēmā katete ir savas projekcijas un visas hipotenūzas vidējais ($a = \sqrt{p \cdot c}$), bet augstums — abu projekciju vidējais ($h = \sqrt{pq}$). Nejauc.
⚠️ Vidējais ģeometriskais definēts tikai nenegatīviem skaitļiem (sakne).