8. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Mērķis. Atrast $x$, kas padara vienādojumu patiesu.

2. Pirmais solis: pārvietot konstanti. $5x + 1 = 36$. Lai $5x$ paliktu viens, atņemam 1 no abām pusēm:
$5x + 1 - 1 = 36 - 1$
$5x = 35$

3. Otrais solis: dalīt ar koeficientu. Lai $x$ paliktu viens, dalām abas puses ar 5:
$\dfrac{5x}{5} = \dfrac{35}{5}$
$x = 7$

4. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $x = 35$ — skolēns apstājies pēc pirmā soļa ($5x = 35$) un aizmirsis dalīt ar koeficientu $5$. Tipiska "puse darba" kļūda.
• $x = 7{,}4$ — skolēns PIESKAITĪJA $1$ tā vietā, lai atņemtu (zīmes kļūda). Pārvietojot konstanti, zīme vienmēr mainās.
• $x = 7{,}2$ — skolēns ignorējis konstanti $1$ un dalījis $36$ ar $5$ uzreiz.
• $x = 36$ — skolēns ievadījis labās puses skaitli, neveicot nekādus aprēķinus.

5. Pārbaude. Ievietojam atpakaļ:
$5 \cdot 7 + 1 = 35 + 1 = 36$ ✓

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu:
$a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza (pretī taisnajam leņķim).

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 3$, $b = 4$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 3^2 = 9$
$b^2 = 4^2 = 16$

4. Saskaiti. $c^2 = 9 + 16 = 25$.

5. Sakņo. $c = \sqrt{25} = 5$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{25} = 5$.
• $7$ — saskaitīti katešu garumi. Pitagora teorēma prasa KVADRĀTUS: $\sqrt{9 + 16} = 5$.
• $6$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{25} = 5$.
7. Atpazīšana. Šis ir $3-4-5$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, kā arī to reizinājumus (6-8-10, 9-12-15, ...).

Atrisinājums:
1. Riņķa laukuma formula. $S = \pi r^2$, kur $r$ ir rādiuss (no centra līdz aplim).

2. Aprēķini.
$S = \pi \cdot 6^2 = \pi \cdot 36 = 36\pi$ cm².

3. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $S \approx 36 \cdot 3{,}14 \approx 113{,}04$ cm².

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12\pi$ cm — skolēns aprēķinājis $2\pi r$ (riņķa apkārtmēru), ne laukumu. Garumam izmanto $r$, laukumam — $r^2$.
• $18\pi$ cm² — skolēns aizmirsis, ka formulā nav puses. $\pi r^2$ ir vesela laukuma formula, ne puses. Sajauks varbūt ar pussriņķa laukumu.
• $216\pi$ — skolēns kāpinājis kubā, sajaucot riņķa laukumu ar lodes tilpumu vai citu 3D izteiksmi.

5. Bieža kļūda. Nesajauc ar riņķa apkārtmēru $L = 2\pi r$. Laukums izmanto $r^2$, garums — $r$.

6. Atmiņas palīgs. Laukums vienmēr aug ātrāk nekā garums (kvadrātiski, ne lineāri). Ja rādiuss dubultojas, laukums pieaug 4 reizes.

Atrisinājums:
1. Vidējā aritmētiskā formula. $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ — saskaiti visas vērtības un dali ar to skaitu.

2. Atzīmē, kas dots. Datu kopa: 16, 9, 8, 13, 2, 3, 16, 9. Skaitļu skaits $n = 8$.

3. Aprēķini summu.
$16 + 9 + 8 + 13 + 2 + 3 + 16 + 9 = 76$

4. Dali ar skaitu.
$\bar{x} = \dfrac{76}{8} = 9,5$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $76$ — skolēns aprēķinājis tikai SUMMU, aizmirstot dalīt ar elementu skaitu. "Puse darba" — pareiza summa, bet bez dalīšanas.
• $2$ — skolēns paņēmis vidējo elementu no NESAKĀRTOTAS virknes (sajaucot ar mediānu). Vidējais aritmētiskais nav saistīts ar pozīciju.
• $25$ — skolēns saskaitījis tikai pirmo un pēdējo elementu, neietvero pārējos.

6. Saprātīguma pārbaude. Vidējam jābūt starp minimumu (2) un maksimumu (16). Mūsu atbilde 9,5 der ✓

7. Atšķirība no mediānas un modas. Vidējais aritmētiskais — summa/skaits. Mediāna — vidējais elements pēc sakārtošanas. Moda — visbiežākais. Šie trīs visbiežāk atšķiras!

Atrisinājums:
1. Reizināšanas likums. Reizinot pakāpes ar VIENĀDU bāzi, kāpinātājus saskaita: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Pielieto. $x^{3} \cdot x^{4} = x^{3+4} = x^{7}$.

3. Distraktoru analīze.
• $x^{12}$ — kāpinātāji kļūdaini sareizināti, nevis saskaitīti.
• $x^{1}$ — kāpinātāji atņemti (tas der DALĪŠANAI, ne reizināšanai).

4. Pārbaude. $x^{3} \cdot x^{4}$ = ($x$ $3$ reizes)·($x$ $4$ reizes) = $x$ pavisam $7$ reizes $= x^{7}$ ✓