Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Taisnleņķa trijstūrī kvadrāts uz hipotenūzas ir vienāds ar kvadrātu summu uz katetēm:
$a^2 + b^2 = c^2$
Apzīmējumi:
Svarīgi: teorēma darbojas TIKAI taisnleņķa trijstūriem (kuriem viens leņķis ir $90°$). Citiem trijstūriem nederēs.
Pretējais virziens (apgrieztā teorēma): Ja trijstūra malām spēkā $a^2 + b^2 = c^2$, tad trijstūris IR taisnleņķa.
Šie ir pilni veseli skaitļi, kas apmierina $a^2 + b^2 = c^2$. Iegaumē tos — bieži parādās CE.
| $a$ | $b$ | $c$ (hipotenūza) | Reizinājums |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | $9+16=25$ ✓ |
| 5 | 12 | 13 | $25+144=169$ ✓ |
| 8 | 15 | 17 | $64+225=289$ ✓ |
| 7 | 24 | 25 | $49+576=625$ ✓ |
| 9 | 40 | 41 | $81+1600=1681$ ✓ |
Reizinājumi arī der: 6-8-10 (3-4-5 × 2), 10-24-26 (5-12-13 × 2), utt.
Uzdevums: Taisnleņķa trijstūrī katetes garumi ir $6$ cm un $8$ cm. Atrod hipotenūzu.
1. solis. Atpazīstam trijnieci. $6$ un $8$ ir $2 \cdot (3, 4)$. Tātad hipotenūza ir $2 \cdot 5 = 10$ cm.
Vai aprēķinām tieši:
$$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$
Atbilde: $c = 10$ cm.
Cits piemērs: Hipotenūza $c = 13$, viena katete $a = 5$. Atrod otru kateti $b$.
$$b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow b = 12$$
Atpazīstams (5, 12, 13) trijnieks!
"Lielā kvadrāta uz hipotenūzas laukums = mazo kvadrātu uz katetēm summa."
Vizuāli: zīmē taisnleņķa trijstūri, uz katras malas izveido kvadrātu. Lielā kvadrāta (uz hipotenūzas) laukums ir vienāds ar abu mazāko kvadrātu laukumu summu.
Tāpēc nosaukums "kvadrāti" formulā: $a^2 = $ kvadrāta uz katetes $a$ laukums.
Praktisks paņēmiens: ja redzi taisnleņķa trijstūri ar diviem zināmiem malām:
⚠️ $c$ ir HIPOTENŪZA, ne kāda mala pēc izvēles. Vienmēr $c$ ir garākā mala — pretī taisnajam leņķim.
Klasiska kļūda: rakstīt $5^2 + 13^2 = 12^2$, kas dod $194 = 144$ — nav pareizi! Pareizi: $5^2 + 12^2 = 13^2$, kas dod $169 = 169$ ✓.
⚠️ Atrast kateti, nevis hipotenūzu. Ja zināma hipotenūza un viena katete, formulā $b^2 = c^2 - a^2$ — atņemšana, ne saskaitīšana.
⚠️ Vai trijstūris IR taisnleņķa? Pitagora teorēmu drīkst lietot TIKAI, ja zinām, ka trijstūris ir taisnleņķa. Ja nav — lieto kosinusa teorēmu (11. kl.).
Pārbaude: ja trijstūrim malas $5, 6, 7$ — vai tas ir taisnleņķa? Pārbaudi: $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \neq 49 = 7^2$. NĒ, nav taisnleņķa.
Pretēji: $3, 4, 5$ — $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓. JĀ, taisnleņķa.