9. klasePamati

Sin, cos, tan taisnleņķa trijstūrī

Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.

📖Trigonometrijas pamatfunkcijas

Taisnleņķa trijstūrī, attiecībā pret leņķi $\alpha$ (kas NAV taisnais leņķis), definē:

Sinuss$\sin\alpha = \dfrac{\text{pretkatete}}{\text{hipotenūza}}$
Kosinuss$\cos\alpha = \dfrac{\text{piekate}}{\text{hipotenūza}}$
Tangenss$\tan\alpha = \dfrac{\text{pretkatete}}{\text{piekate}}$

Apzīmējumi:

Svarīgi: pretkatete un piekate atkarīgas no tā, ar kuru leņķi strādā. Tā pati mala var būt pretkatete vienam leņķim un piekate citam.

∑Iegaumējamās vērtības

Leņķis $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$
$\sin$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos$ $1$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $0$
$\tan$ $0$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ —

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Taisnleņķa trijstūrī viens spicais leņķis ir $30^\circ$, hipotenūza $= 12$ cm. Atrod katešu garumus.

1. solis. Iezīmējam leņķi $\alpha = 30^\circ$. Pretī tam atrodas katete $a$ (pretkatete); blakus tam atrodas katete $b$ (piekate).

2. solis. Atrodam pretkateti caur sinusu:

$$\sin 30° = \dfrac{a}{12} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{12} \Rightarrow a = 6 \text{ cm}$$

3. solis. Atrodam piekati caur kosinusu:

$$\cos 30° = \dfrac{b}{12} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{b}{12} \Rightarrow b = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39 \text{ cm}$$

Atbilde: Pretkatete $a = 6$ cm, piekate $b = 6\sqrt{3}$ cm.

Pārbaude ar Pitagora: $6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 = 12^2$ ✓

•Darām kopā: kuru attiecību izvēlēties?

Trigonometrijā grūtākais nav rēķināšana, bet izvēle — sin, cos vai tan. Izvēle ir pilnībā noteikta ar to, kuras malas ir zināmas.

🎯Atmiņas paņēmiens

SOH-CAH-TOA — angliski paliekošā mnemonika:

Latviski: "Sinis Pretī Hipotēnūzu, Kosi Pie Hipotenūzas, Tangens Pretī Pie".

Vienības trijstūris (1, √3, 2):

Trijstūris ar leņķiem $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ ar mazāko kateti $1$ ir ar malām $1, \sqrt{3}, 2$:

Pierādījums Pitagora: $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$ ✓.

Trijstūris ar leņķiem $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ ar kateti $1$ ir ar malām $1, 1, \sqrt{2}$. Tā saukts vienādsānu taisnleņķa trijstūris.

⚠️Biežākās kļūdas

⚠️ Pretkatete un piekate. Vienā un tajā pašā trijstūrī mala $a$ var būt:

Vienmēr jautā: "Attiecībā pret kuru leņķi?" pirms identificē, kas ir kas.

⚠️ $\sin 90^\circ \neq \infty$. $\sin 90^\circ = 1$. Tas ir tangenss, kuram $90^\circ$ nav definēts (jo $\cos 90^\circ = 0$ un dalīt ar 0 nevar).

⚠️ Vai funkcijas vērtība var būt > 1?

Ja iznāk $\sin\alpha = 1{,}5$, kļūda — atgriezies un pārbaudi.

⚠️ Atbilde grādos vai radiānos? Pamatos vienmēr GRĀDOS ($30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, \ldots$). Radiāni nāks 11.-12. kl.

✓ Pārbaudi sevi

Taisnleņķa trijstūrī viens leņķis ir $45^\circ$, hipotenūza $= 10$. Cik ir katete?
  • A) $5$
  • B) $5\sqrt{2}$
  • C) $5\sqrt{3}$
  • D) $10$
Pareizā atbilde: B) $5\sqrt{2}$
$\sin 45^\circ = \dfrac{\text{katete}}{10} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \text{katete} = 5\sqrt{2}$.
Trijstūrī $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$. Cik ir $\sin\alpha$ (ja $\alpha$ ir spicais leņķis)?
  • A) $\dfrac{3}{5}$
  • B) $\dfrac{4}{5}$
  • C) $\dfrac{5}{4}$
  • D) $\dfrac{1}{5}$
Pareizā atbilde: A) $\dfrac{3}{5}$
No pamatidentitātes $\sin^2 + \cos^2 = 1$: $\sin^2 = 1 - 16/25 = 9/25 \Rightarrow \sin = 3/5$ (jo spicais leņķis, pozitīvs). Tas ir 3-4-5 trijstūris.
▶ Atvērt interaktīvi un trenēties — MatemPro app

9. klases citas tēmas

Lineāri vienādojumi →Pitagora teorēma →Paralelograms un trapece →Statistika (vidējais, mediāna, moda) →Kvadrātvienādojumi →Līdzīgi trijstūri →

📝 Šī tēma ir 9. klases eksāmenā. Skaties, kas vēl būs 9. klases matemātikas eksāmenā →