Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Taisnleņķa trijstūrī, attiecībā pret leņķi $\alpha$ (kas NAV taisnais leņķis), definē:
| Sinuss | $\sin\alpha = \dfrac{\text{pretkatete}}{\text{hipotenūza}}$ |
| Kosinuss | $\cos\alpha = \dfrac{\text{piekate}}{\text{hipotenūza}}$ |
| Tangenss | $\tan\alpha = \dfrac{\text{pretkatete}}{\text{piekate}}$ |
Apzīmējumi:
Svarīgi: pretkatete un piekate atkarīgas no tā, ar kuru leņķi strādā. Tā pati mala var būt pretkatete vienam leņķim un piekate citam.
| Leņķis | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Uzdevums: Taisnleņķa trijstūrī viens spicais leņķis ir $30°$, hipotenūza $= 12$ cm. Atrod katešu garumus.
1. solis. Iezīmējam leņķi $\alpha = 30°$. Pretī tam atrodas katete $a$ (pretkatete); blakus tam atrodas katete $b$ (piekate).
2. solis. Atrodam pretkateti caur sinusu:
$$\sin 30° = \dfrac{a}{12} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{12} \Rightarrow a = 6 \text{ cm}$$
3. solis. Atrodam piekati caur kosinusu:
$$\cos 30° = \dfrac{b}{12} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{b}{12} \Rightarrow b = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39 \text{ cm}$$
Atbilde: Pretkatete $a = 6$ cm, piekate $b = 6\sqrt{3}$ cm.
Pārbaude ar Pitagora: $6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 = 12^2$ ✓
SOH-CAH-TOA — angliski paliekošā mnemonika:
Latviski: "Sinis Pretī Hipotēnūzu, Kosi Pie Hipotenūzas, Tangens Pretī Pie".
Vienības trijstūris (1, √3, 2):
Trijstūris ar leņķiem $30°-60°-90°$ ar mazāko kateti $1$ ir ar malām $1, \sqrt{3}, 2$:
Pierādījums Pitagora: $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$ ✓.
Trijstūris ar leņķiem $45°-45°-90°$ ar kateti $1$ ir ar malām $1, 1, \sqrt{2}$. Tā saukts vienādsānu taisnleņķa trijstūris.
⚠️ Pretkatete un piekate. Vienā un tajā pašā trijstūrī mala $a$ var būt:
Vienmēr jautā: "Attiecībā pret kuru leņķi?" pirms identificē, kas ir kas.
⚠️ $\sin 90° \neq \infty$. $\sin 90° = 1$. Tas ir tangenss, kuram $90°$ nav definēts (jo $\cos 90° = 0$ un dalīt ar 0 nevar).
⚠️ Vai funkcijas vērtība var būt > 1?
Ja iznāk $\sin\alpha = 1{,}5$, kļūda — atgriezies un pārbaudi.
⚠️ Atbilde grādos vai radiānos? Pamatos vienmēr GRĀDOS ($30°, 45°, 60°, \ldots$). Radiāni nāks 11.-12. kl.