Kvadrātvienādojumi

📖Kas ir kvadrātvienādojums?

Kvadrātvienādojums ir formas $ax^2 + bx + c = 0$ vienādojums, kur $a \neq 0$.

Skaitļus $a$, $b$, $c$ sauc par koeficientiem:

• $a$ — pirmais (kvadrāta) koeficients
• $b$ — otrais (lineārais) koeficients
• $c$ — brīvais loceklis

Piemēri:

• $x^2 - 5x + 6 = 0$ → $a=1$, $b=-5$, $c=6$
• $2x^2 + 7x = 0$ → $a=2$, $b=7$, $c=0$ (nepilns)
• $3x^2 - 12 = 0$ → $a=3$, $b=0$, $c=-12$ (nepilns)

Atrisinājumus sauc par saknēm jeb vienādojuma x-iem. Kvadrātvienādojumam parasti ir 2 saknes (var būt arī 1 vai neviena).

∑Diskriminants un saknes

Diskriminants:

$D = b^2 - 4ac$

Atkarībā no $D$ zīmes:

Sakņu formula (ja $D \geq 0$):

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Vjeta teorēma (sakņu summa un reizinājums):

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$,  $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Atrod kvadrātvienādojuma $x^2 - 5x + 6 = 0$ saknes.

1. solis. Koeficienti: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

2. solis. Diskriminants:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$D = 1 > 0$ → divas dažādas saknes.

3. solis. Saknes:

$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$$

$$x_1 = \dfrac{5+1}{2} = 3, \quad x_2 = \dfrac{5-1}{2} = 2$$

Atbilde: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$.

Pārbaude ar Vjeta: $x_1 + x_2 = 3 + 2 = 5 = -(-5)/1$ ✓; $x_1 \cdot x_2 = 6 = 6/1$ ✓.

🎯Atmiņas paņēmiens

Vjeta teorēma ir ātrāka par diskriminantu, ja saknes ir veseli skaitļi.

Piemērs: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Meklē divus skaitļus, kuru:

• Summa = $-(-5)/1 = 5$
• Reizinājums = $6/1 = 6$

"Kuri divi skaitļi summā dod 5 un reizinājumā 6?" — 2 un 3! Tās ir saknes.

Speciāli triku gadījumi:

• Ja $a + b + c = 0$ → viena sakne ir vienmēr $x = 1$ (otra: $c/a$)
• Ja $a - b + c = 0$ → viena sakne ir vienmēr $x = -1$ (otra: $-c/a$)

Pārbaude: $x^2 - 5x + 6 = 0$. $a + b + c = 1 - 5 + 6 = 2 \neq 0$. $a - b + c = 1 + 5 + 6 = 12 \neq 0$. Tāpēc šie triki neder, lieto Vjeta vai diskriminantu.

Nepilni vienādojumi risina ātrāk:

• $ax^2 + bx = 0$ → $x(ax+b) = 0$ → $x_1 = 0$, $x_2 = -b/a$
• $ax^2 + c = 0$ → $x^2 = -c/a$ → $x = \pm\sqrt{-c/a}$ (ja $-c/a \geq 0$)

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Aizmirstā $\pm$ zīme. Sakņu formulā ir $\pm\sqrt{D}$ — divi risinājumi. NEAIZMIRSTI otru.

⚠️ $b$ zīme. Diskriminantā $b^2$ — vienmēr pozitīvs. Bet formulā $-b$ — ja $b$ negatīvs, tad $-b$ pozitīvs.

Piemērs: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Te $b = -5$, tāpēc $-b = +5$. Klasiska kļūda — aizmirst, ka $-b = -(-5) = 5$.

⚠️ $D = 0$ gadījums. Daži saka "viena sakne", citi "divas vienādas saknes". Abi ir pareizi — bet zinošā formā tā ir dubultsakne. Piemēram, $x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (divas reizes).

⚠️ $D < 0$ - jāsaka kā? "Reālu sakņu nav" — nevis "atrisinājuma nav". Vēlāk (11.-12. kl.) varēsi mācīties par kompleksajām saknēm, kuras eksistē. Bet šobrīd: $D < 0 \Rightarrow$ "reālu sakņu nav".

✓ Pārbaudi sevi