Pitagora teorēma — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu:
$a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza (pretī taisnajam leņķim).

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 3$, $b = 4$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 3^2 = 9$
$b^2 = 4^2 = 16$

4. Saskaiti. $c^2 = 9 + 16 = 25$.

5. Sakņo. $c = \sqrt{25} = 5$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{25} = 5$.
• $7$ — saskaitīti katešu garumi. Pitagora teorēma prasa KVADRĀTUS: $\sqrt{9 + 16} = 5$.
• $6$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{25} = 5$.
7. Atpazīšana. Šis ir $3-4-5$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, kā arī to reizinājumus (6-8-10, 9-12-15, ...).

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa = hipotenūzas kvadrāts: $a^2 + b^2 = c^2$.

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 6$, $b = 8$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 36$,   $b^2 = 64$

4. Saskaiti un sakņo. $c^2 = 36 + 64 = 100$. $c = \sqrt{100} = 10$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $14$ — skolēns vienkārši saskaitījis katetes ($a + b$). Pitagora teorēma prasa kvadrātus un sakni, ne tiešu summu.
• $100$ — skolēns aizmirsis SAKŅOT galarezultātu. Tas ir $c^2$, ne $c$.
• $2$ — skolēns ATŅĒMIS katetes ($|b - a|$), nevis lietojis kvadrātus. Šī formula nepastāv.

6. Atpazīšana. Šis ir slavens $6$-$8$-$10$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu:
$a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza (pretī taisnajam leņķim).

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 10$, $b = 24$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 10^2 = 100$
$b^2 = 24^2 = 576$

4. Saskaiti. $c^2 = 100 + 576 = 676$.

5. Sakņo. $c = \sqrt{676} = 26$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $24$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{676} = 26$.
• $35$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{676} = 26$.
• $52$ — hipotenūza reizināta ar $2$.
7. Atpazīšana. Šis ir $10-24-26 (5-12-13 reizināts ar 2)$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, kā arī to reizinājumus (6-8-10, 9-12-15, ...).

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa = hipotenūzas kvadrāts: $a^2 + b^2 = c^2$.

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 9$, $b = 12$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 81$,   $b^2 = 144$

4. Saskaiti un sakņo. $c^2 = 81 + 144 = 225$. $c = \sqrt{225} = 15$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $21$ — skolēns vienkārši saskaitījis katetes ($a + b$). Pitagora teorēma prasa kvadrātus un sakni, ne tiešu summu.
• $225$ — skolēns aizmirsis SAKŅOT galarezultātu. Tas ir $c^2$, ne $c$.
• $3$ — skolēns ATŅĒMIS katetes ($|b - a|$), nevis lietojis kvadrātus. Šī formula nepastāv.

6. Atpazīšana. Šis ir slavens $9$-$12$-$15$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. $a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza.

2. Pārkārto formulu. Mēs zinām hipotenūzu $c = 10$ un vienu kateti $= 8$. Otrā katete:
$\text{nezināmā}^2 = c^2 - \text{zināmā katete}^2$
$\text{nezināmā}^2 = 10^2 - 8^2$

3. Aprēķini.
$c^2 = 10^2 = 100$
$\text{zināmā}^2 = 8^2 = 64$
$\text{nezināmā}^2 = 100 - 64 = 36$

4. Sakņo. $\text{nezināmā} = \sqrt{36} = 6$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{36} = 6$.
• $2$ — atņemtas pašas malas, nevis to kvadrāti. $\sqrt{10^2 - 8^2} = 6$, ne $10 - 8$.
• $9$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{36} = 6$.

6. Pārbaude. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ ✓

7. Atpazīšana. Šis ir $6-8-10 (3-4-5 reizināts ar 2)$ Pitagora trijnieks.

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. $a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza.

2. Pārkārto formulu. Mēs zinām hipotenūzu $c = 25$ un vienu kateti $= 15$. Otrā katete:
$\text{nezināmā}^2 = c^2 - \text{zināmā katete}^2$
$\text{nezināmā}^2 = 25^2 - 15^2$

3. Aprēķini.
$c^2 = 25^2 = 625$
$\text{zināmā}^2 = 15^2 = 225$
$\text{nezināmā}^2 = 625 - 225 = 400$

4. Sakņo. $\text{nezināmā} = \sqrt{400} = 20$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $19$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{400} = 20$.
• $10$ — atņemtas pašas malas, nevis to kvadrāti. $\sqrt{25^2 - 15^2} = 20$, ne $25 - 15$.
• $18$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{400} = 20$.

6. Pārbaude. $20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 = 25^2$ ✓

7. Atpazīšana. Šis ir $15-20-25 (3-4-5 reizināts ar 5)$ Pitagora trijnieks.

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa = hipotenūzas kvadrāts: $a^2 + b^2 = c^2$.

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 7$, $b = 24$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 49$,   $b^2 = 576$

4. Saskaiti un sakņo. $c^2 = 49 + 576 = 625$. $c = \sqrt{625} = 25$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $31$ — skolēns vienkārši saskaitījis katetes ($a + b$). Pitagora teorēma prasa kvadrātus un sakni, ne tiešu summu.
• $625$ — skolēns aizmirsis SAKŅOT galarezultātu. Tas ir $c^2$, ne $c$.
• $17$ — skolēns ATŅĒMIS katetes ($|b - a|$), nevis lietojis kvadrātus. Šī formula nepastāv.

6. Atpazīšana. Šis ir slavens $7$-$24$-$25$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu:
$a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza (pretī taisnajam leņķim).

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 9$, $b = 12$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 9^2 = 81$
$b^2 = 12^2 = 144$

4. Saskaiti. $c^2 = 81 + 144 = 225$.

5. Sakņo. $c = \sqrt{225} = 15$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $22$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{225} = 15$.
• $30$ — hipotenūza reizināta ar $2$.
• $21$ — saskaitīti katešu garumi. Pitagora teorēma prasa KVADRĀTUS: $\sqrt{81 + 144} = 15$.
7. Atpazīšana. Šis ir $9-12-15 (3-4-5 reizināts ar 3)$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, kā arī to reizinājumus (6-8-10, 9-12-15, ...).

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrātu summa = hipotenūzas kvadrāts: $a^2 + b^2 = c^2$.

2. Atzīmē, kas dots. Katetes $a = 3$, $b = 4$. Meklē hipotenūzu $c$.

3. Aprēķini katešu kvadrātus.
$a^2 = 9$,   $b^2 = 16$

4. Saskaiti un sakņo. $c^2 = 9 + 16 = 25$. $c = \sqrt{25} = 5$.

5. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $7$ — skolēns vienkārši saskaitījis katetes ($a + b$). Pitagora teorēma prasa kvadrātus un sakni, ne tiešu summu.
• $25$ — skolēns aizmirsis SAKŅOT galarezultātu. Tas ir $c^2$, ne $c$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS katetes ($|b - a|$), nevis lietojis kvadrātus. Šī formula nepastāv.

6. Atpazīšana. Šis ir slavens $3$-$4$-$5$ Pitagora trijnieks. Iegaumē biežākos: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. $a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza.

2. Pārkārto formulu. Mēs zinām hipotenūzu $c = 15$ un vienu kateti $= 12$. Otrā katete:
$\text{nezināmā}^2 = c^2 - \text{zināmā katete}^2$
$\text{nezināmā}^2 = 15^2 - 12^2$

3. Aprēķini.
$c^2 = 15^2 = 225$
$\text{zināmā}^2 = 12^2 = 144$
$\text{nezināmā}^2 = 225 - 144 = 81$

4. Sakņo. $\text{nezināmā} = \sqrt{81} = 9$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{81} = 9$.
• $3$ — atņemtas pašas malas, nevis to kvadrāti. $\sqrt{15^2 - 12^2} = 9$, ne $15 - 12$.
• $27$ — SASKAITĪTA hipotenūza ar zināmo kateti. Pitagora teorēma saista KVADRĀTUS: $c^2 - a^2$, ne $c + a$.

6. Pārbaude. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ ✓

7. Atpazīšana. Šis ir $9-12-15 (3-4-5 reizināts ar 3)$ Pitagora trijnieks.