9. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Līdzīgu trijstūru īpašība. Līdzīgiem trijstūriem atbilstošās malas ir proporcionālas — visu atbilstošo malu attiecība ir viena un tā pati (līdzības koeficients $k$).

2. Atrodam koeficientu. Atbilstošās malas $3$ cm un $6$ cm dod $k = \dfrac{6}{3} = 2$.

3. Meklējam malu. Mazākā trijstūra malai $7$ cm atbilstošā lielākā mala ir $7 \cdot 2 = 14$ cm.

4. Biežākās kļūdas.
• $10$ — pieskaitīta starpība $6 - 3$, nevis reizināts ar koeficientu (līdzība ir REIZINĀŠANA, ne saskaitīšana).
• $13$ — pieskaitīta zināmā lielā mala $6$ cm.
• $21$ — līdzības koeficients noteikts par $1$ par lielu.

Atrisinājums:
1. Trapeces laukuma formula. $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$, kur $a$ un $b$ ir paralēlās malas (pamati), $h$ — augstums (attālums starp tām).

2. Ievietojam vērtības. $S = \dfrac{13 + 7}{2} \cdot 6 = \dfrac{20}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6$.

3. Atbilde. $S = 60$ cm².

4. Biežākās kļūdas.
• $120$ — aizmirsts dalīt ar $2$; sanāk divreiz par lielu.
• $78$ — reizināta tikai viena mala ar augstumu.
• $26$ — malas un augstums saskaitīti, nevis izmantota formula.

Atrisinājums:
1. Vienības riņķis. Visas trigonometriskās pamatvērtības iegūstam no riņķa ar rādiusu $1$. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta, \sin\theta)$.

2. Pamatleņķu tabula. Iegaumē šos 5 leņķus:

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

3. Mūsu uzdevums. $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Distraktoru analīze. Visi nepareizie varianti ir CITU pamatleņķu vērtības tai pašai funkcijai:
• $1$ — atbilst $\cos$ citā leņķī. Skolēns sajaucis tabulas rindas vai izlasījis pretējo virzienu.
• $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — vēl viena pamatleņķa $\cos$ vērtība. Tipiska kļūda: skolēns atminējies, ka tabulā tāda vērtība parādās, bet sajaucis, kuram leņķim.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — šī ir TĀ PAŠA leņķa pretējās funkcijas vērtība ($\sin 45°$). Sajaucis $\sin$ ar $\cos$.

5. Pārbaude. $\sin^2 45° + \cos^2 45° = 1$. Tā nav nejauša īpašība — tas izriet no Pitagora taisnleņķa trijstūrim ar hipotenūzu $1$.

6. Atmiņas palīgs. Skaitītāji ir kvadrātsaknes $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$, dalītas ar 2. cos iet apgrieztā secībā nekā sin.

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Locekļi ir $25x^2$ un $15x$.

2. Skaitliskie koeficienti. $\text{LDK}(25, 15) = 5$.

3. Mainīgie. $x^2$ saturā $x$ divreiz, $x$ — vienreiz. Kopīgā daļa = $x$ (mazākā pakāpe).

4. Kopīgais reizinātājs = $5x$. Dali katru locekli: $\dfrac{25x^2}{5x} = 5x$, $\dfrac{15x}{5x} = 3$.

5. Rezultāts. $25x^2 + 15x = 5x(5x + 3)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $5x(5x + 3) = 25x^2 + 15x = 25x^2 + 15x$ ✓.

7. Padoms. Vienmēr izņem MAKSIMĀLO kopīgo reizinātāju — gan skaitlisko, gan mainīgā. Iekavās paliekušais nedrīkst saturēt nekādu kopīgo reizinātāju.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 - -8 = 9$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2}$

$x_1 = \dfrac{-2}{2} = -1$, $x_2 = \dfrac{4}{2} = 2$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 1 = -b/a = 1$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = -2 = c/a = -2$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -1$, tāpēc $-b = 1$.