Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Skaitļu virkne ir sakārtota skaitļu secība: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$
Katrs skaitlis ir loceklis. $a_n$ — $n$-tais loceklis.
9. klasē galvenokārt ir 2 veidu virknes:
| Aritmētiskā progresija | Katrs nāk. loceklis = iepriekšējais + $d$ (starpība) |
| Ģeometriskā progresija | Katrs nāk. loceklis = iepriekšējais $\cdot q$ (kvocients) |
Piemēri:
Aritmētiskā progresija ($a_1, a_1+d, a_1+2d, \ldots$):
| $n$-tais loceklis | $a_n = a_1 + (n-1) d$ |
| Starpība | $d = a_{n+1} - a_n$ |
| Summa | $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ |
Ģeometriskā progresija ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$):
| $n$-tais loceklis | $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ |
| Kvocients | $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ |
| Summa | $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ (ja $q \neq 1$) |
Uzdevums: Aritmētiskā progresija: $a_1 = 5$, $d = 3$. Atrod 10. locekli un pirmo 10 locekļu summu.
1. solis. $a_{10}$:
$$a_{10} = a_1 + (10-1) d = 5 + 9 \cdot 3 = 32$$
2. solis. $S_{10}$:
$$S_{10} = \dfrac{(5 + 32) \cdot 10}{2} = \dfrac{37 \cdot 10}{2} = 185$$
Atbilde: $a_{10} = 32$, $S_{10} = 185$.
"Aritmētiskā pieskaita, ģeometriskā reizinā."
Kā ātri atpazīt veidu? Atrod starpību $a_2 - a_1$ un attiecību $a_2 / a_1$:
Piemērs: $2, 6, 18$ — $6-2=4$, $18-6=12$ (atšķiras → nav aritmētiskā). $6/2 = 3$, $18/6 = 3$ (vienāda → ģeometriskā ar $q=3$).
⚠️ $a_n = a_1 + nd$ NEVIS $a_1 + (n-1)d$. Klasiska kļūda. Pakāpe ir $n-1$, jo $a_1$ pats jau ir sākums (nepievieno $d$).
Pārbaude: $a_1 = a_1 + (1-1) d = a_1$ ✓
⚠️ Dilstoša progresija — $d < 0$. Ja virkne dilst (skaitļi mazāki) → starpība negatīva. Piem., $20, 17, 14 \Rightarrow d = -3$.
⚠️ Ģeometriskās $b_n$ formulā pakāpe ir $n-1$, ne $n$. Tāpat kā aritmētiskajā.