Riņķī ievilkti un apvilkti daudzstūri

📖Centra un ievilktais leņķis

Centra leņķis — leņķis, kura virsotne ir riņķa centrā. Tā lielums = riņķa loka, ko tas izgriež.

Ievilkts leņķis — leņķis, kura virsotne ir uz riņķa līnijas, malas ir hordas.

Ievilktais leņķis $= \dfrac{1}{2} \times $ centra leņķis (ja abi balstās uz vienu loku)

Sekas:

• Visi ievilkti leņķi, kas balstās uz vienu loku — vienādi
• Ievilkts leņķis, kas balstās uz diametru — vienmēr $90°$ (taisnleņķa)

∑Ievilkts un apvilkts daudzstūris

Ievilkts daudzstūris — visu virsotnes uz vienas riņķa līnijas. Šo riņķi sauc par apvilkto riņķa līniju (apvilkts ap daudzstūri).

Apvilkts daudzstūris — visas sānas pieskaras vienai riņķa līnijai. Šī ir ievilktā riņķa līnija.

Trijstūrim VIENMĒR ir gan ievilktā, gan apvilktā riņķa līnija (citiem daudzstūriem ne vienmēr).

Regulārs daudzstūris (visas sānas un leņķi vienādi) — vienmēr ir ievilkts un apvilkts. Piemērs: vienādmalu trijstūris, kvadrāts, regulārs sešstūris.

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Riņķī ievilkts trijstūris $ABC$, kur $AB$ ir riņķa diametrs. $\angle B = 60°$. Atrod citus leņķus.

1. solis. Tā kā $AB$ ir diametrs, ievilktais leņķis pretī tam ($\angle C$) = $90°$.

2. solis. Trijstūra leņķu summa = $180°$:

$$\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 60° - 90° = 30°$$

Atbilde: $\angle A = 30°$, $\angle B = 60°$, $\angle C = 90°$.

Tas ir klasiskais $30°$-$60°$-$90°$ trijstūris!

🎯Atmiņas paņēmiens

"Diametrs uz riņķa = 90° leņķis." Šī ir Talesa teorēma. Ja redzi trijstūri ar diametru kā sāna, automātiski zini, ka pretī ir taisnleņķis.

Tas der gan virzienā:

• Sāna = diametrs → pretī leņķis = $90°$
• Leņķis = $90°$ + ievilkts riņķī → pretī sāna ir diametrs

Regulāru daudzstūru ievilkts/apvilkts:

• Vienādmalu trijstūris ar malu $a$: apvilktais $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$, ievilktais $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$
• Kvadrāts ar malu $a$: apvilktais $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, ievilktais $r = \dfrac{a}{2}$
• Regulārs sešstūris ar malu $a$: apvilktais $R = a$ (sešstūris ir 6 vienādmalu trijstūri!), ievilktais $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Centra leņķis un ievilkts leņķis. Centra leņķis $= $ loks (grādos). Ievilkts leņķis $=$ pusi no centra leņķa (ja abi balstās uz vienu loku).

Klasiska kļūda — sajaukt 2:1 attiecību. Atceries: centra leņķis vienmēr lielāks.

⚠️ Ievilkts vs. apvilkts. Diametri šie ir pretēji:

• Ievilkts daudzstūris — daudzstūris ir IEKŠĀ riņķī (virsotnes uz riņķa)
• Apvilkts daudzstūris — daudzstūris ir ĀRPUS riņķa (sānas pieskaras)

Vai vēl atšķirīgāk:

• Riņķis ievilkts daudzstūrī — riņķis ir iekšā
• Riņķis apvilkts daudzstūrim — riņķis ir ārā

Vēsturiski — Latvijā lieto pirmo nozīmi (ievilkts/apvilkts attiecas uz daudzstūri).

✓ Pārbaudi sevi