Piramīda

📖Piramīdas elementi

Piramīda ir ķermenis ar daudzstūra pamatu un sānu skaldnēm — trijstūriem, kas satiekas vienā virsotnē.

• Augstums $h$ — perpendikuls no virsotnes līdz pamata plaknei.
• Apotēma $m$ — sānu skaldnes (trijstūra) augstums (regulārai piramīdai).
• Sānu šķautne $l$ — mala no virsotnes līdz pamata stūrim.

Regulāra piramīda — pamatā regulārs daudzstūris, virsotne tieši virs centra.

∑Tilpums un virsma

$V = \dfrac{1}{3} S_{pamata} \cdot h$

Sānu virsma (regulārai piramīdai, $P$ — pamata perimetrs, $m$ — apotēma):

$S_{sānu} = \dfrac{1}{2} P \cdot m$

$S_{pilna} = S_{sānu} + S_{pamata}$

Pitagora sakarības regulārā piramīdā: $l^2 = h^2 + R^2$ un $m^2 = h^2 + r^2$ ($R$, $r$ — pamata apvilktās/ievilktās riņķa līnijas rādiusi).

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala $a = 6$, augstums $h = 4$. Atrod tilpumu un apotēmu.

1. solis. Pamata laukums: $S = 6^2 = 36$.

2. solis. Tilpums:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$$

3. solis. Apotēma. Pamata ievilktās riņķa rādiuss $r = \frac{a}{2} = 3$. Tad:

$$m = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Atbilde: $V = 48$, apotēma $m = 5$.

🎯Atmiņas paņēmiens

"Piramīda = trešdaļa no prizmas" ar to pašu pamatu un augstumu: $V = \frac{1}{3}S h$. Neaizmirsti $\frac{1}{3}$!

Visi piramīdas uzdevumi balstās uz taisnleņķa trijstūriem: augstums $h$, kāds pamata rādiuss ($R$ vai $r$) un slīpā mala ($l$ vai $m$). Uzzīmē šo trijstūri.

Kvadrāta pamatam: $r = \frac{a}{2}$ (apotēmai), $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sānu šķautnei).

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Aizmirstā $\frac{1}{3}$ tilpuma formulā — piramīda nav prizma.

⚠️ Nejauc apotēmu $m$ ar sānu šķautni $l$. Apotēma iet uz pamata malas viduspunktu ($m^2 = h^2 + r^2$), šķautne — uz stūri ($l^2 = h^2 + R^2$).

⚠️ Sānu virsmā lieto apotēmu, ne augstumu: $S_{sānu} = \frac{1}{2}Pm$.

✓ Pārbaudi sevi