Pārkārtojumi un izvietojumi

📖Kad kārtība ir svarīga

Kombinatorikā galvenais jautājums: vai kārtība ir svarīga?

• Pārkārtojumi ($P_n$) — cik veidos sakārtot $n$ elementus rindā. Kārtība svarīga, izmanto visus elementus.
• Izvietojumi ($A_n^k$) — cik veidos izvēlēties un sakārtot $k$ elementus no $n$. Kārtība svarīga.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — cik veidos izvēlēties $k$ no $n$. Kārtība NAV svarīga.

Faktoriāls: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$, un $0! = 1$.

∑Formulas

$P_n = n!$

$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$

$C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} = \dfrac{A_n^k}{k!}$

Sakarība: izvietojums = kombinācija reiz pārkārtojumi: $A_n^k = C_n^k \cdot k!$.

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Sacensībās 8 dalībnieki. Cik veidos var sadalīt 1., 2. un 3. vietu?

1. solis. Kārtība svarīga (1. vieta ≠ 2. vieta), izvēlamies 3 no 8 → izvietojumi:

$$A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$$

Salīdzini: ja jautātu "cik veidos izvēlēties 3 finālistus" (bez vietām, kārtība nesvarīga):

$$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56$$

Atbilde: $336$ veidi medaļu sadalei.

🎯Atmiņas paņēmiens

Pirmais jautājums vienmēr: "Vai, samainot elementus vietām, sanāk CITS rezultāts?"

• Jā (vietas, kodi, secība) → izvietojumi/pārkārtojumi ($A$, $P$)
• Nē (komanda, komplekts, izlase) → kombinācijas ($C$)

$A_n^k$ ātri: sāc no $n$ un reizini $k$ "soļus" lejup: $A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6$ (trīs reizinātāji).

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Galvenā kļūda — izvietojumus jaukt ar kombinācijām. "Prezidents un vietnieks" (kārtība svarīga) → $A$; "divi pārstāvji" (vienlīdzīgi) → $C$.

⚠️ $A_n^k$ ir $k$ reizes garāks par $C_n^k$... precīzāk $k!$ reizes lielāks: $A_n^k = C_n^k \cdot k!$.

⚠️ $0! = 1$, nevis $0$. Tas vajadzīgs, lai formulas darbotos pie $k = n$.

✓ Pārbaudi sevi