Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Divkārša leņķa formulas izsaka $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ un $\operatorname{tg} 2\alpha$ caur viena leņķa $\alpha$ funkcijām.
Tās izriet no saskaitīšanas formulām, kad abi leņķi vienādi: $2\alpha = \alpha + \alpha$.
Izmanto, lai vienkāršotu izteiksmes un risinātu trigonometriskos vienādojumus, kuros sajaukti $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ un dubultleņķi.
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
Kosinusam ir trīs ekvivalentas formas (ar pamatidentitāti $\sin^2 + \cos^2 = 1$):
$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
$\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$
Uzdevums: Zināms, ka $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ un $\alpha$ ir I kvadrantā. Atrod $\sin 2\alpha$ un $\cos 2\alpha$.
1. solis. Atrod $\cos\alpha$ (I kvadrantā pozitīvs):
$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
2. solis. $\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$
3. solis. $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$
Atbilde: $\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$, $\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$.
$\sin 2\alpha$ — "divi-sin-cos": $2\sin\alpha\cos\alpha$. Iesaistītas abas funkcijas.
Izvēlies pareizo $\cos 2\alpha$ formu pēc tā, kas zināms: ja dots $\cos\alpha$ → lieto $2\cos^2\alpha - 1$; ja dots $\sin\alpha$ → lieto $1 - 2\sin^2\alpha$. Tā izvairies no liekiem soļiem.
Pārveidojums otrā virzienā ir tikpat svarīgs: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ "salocī" izteiksmi vienkāršākā.
⚠️ $\sin 2\alpha \neq 2\sin\alpha$! Dubultleņķis nav vienkārša reizināšana. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
⚠️ $\cos 2\alpha \neq \cos^2\alpha$. Pareizi: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ (ar mīnusu, ne pluss).
⚠️ Trīs $\cos 2\alpha$ formas ir ekvivalentas — bet pārejot starp tām, jālieto $\sin^2 + \cos^2 = 1$, ne kā citādi.