Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Attiecība $a : b$ salīdzina divus lielumus dalot — "uz katru $b$ vienību nāk $a$ vienības". Attiecību var saīsināt kā daļu: $6 : 9 = 2 : 3$.
Proporcija ir divu attiecību vienādība:
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ jeb $a : b = c : d$
$a$ un $d$ — malējie locekļi, $b$ un $c$ — vidējie.
Krustiskā reizināšana (malējo reizinājums = vidējo reizinājums):
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; a \cdot d = b \cdot c$
Nezināmo proporcijā izsaka: $x = \dfrac{b \cdot c}{a}$ (no $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$... vienmēr "pretējo reizinājums dalīts ar trešo").
Tiešā proporcionalitāte: abi lielumi aug kopā ($2\times$ vairāk preču → $2\times$ lielāka summa).
Apgrieztā proporcionalitāte: viens aug, otrs sarūk ($2\times$ vairāk strādnieku → $2\times$ mazāk laika).
Uzdevums: $3$ kg ābolu maksā $4{,}50$ €. Cik maksā $5$ kg?
1. solis. Tiešā proporcionalitāte (vairāk kg → vairāk €). Proporcija:
$$\frac{3}{4{,}5} = \frac{5}{x}$$
2. solis. Krustiski: $3x = 4{,}5 \cdot 5 = 22{,}5$
3. solis. $x = 22{,}5 : 3 = 7{,}5$
Atbilde: $7{,}50$ €.
Pārbaude caur vienu vienību: $1$ kg maksā $1{,}5$ € → $5$ kg = $7{,}5$ € ✓
"Vienas vienības metode" bieži drošāka par proporciju: atrodi, cik maksā/sver/ilgst VIENA vienība, tad reizini.
Tiešā vai apgrieztā? Uzdod jautājumu: "ja pirmais aug, otrais...?" Aug → tiešā (krustiskā reizināšana). Sarūk → apgrieztā (tad reizina "pa taisno": $x_1 y_1 = x_2 y_2$).
Sadalīšana attiecībā $2:3$ — kopā $5$ daļas; katra daļa $= \frac{viss}{5}$, tad reizini ar $2$ un $3$.
⚠️ Apgrieztai proporcionalitātei krustiskā reizināšana NEDER. "5 strādnieki — 12 dienas, 10 strādnieki — ?" Atbilde 6 dienas ($5 \cdot 12 = 10 \cdot x$), nevis 24!
⚠️ Proporcijā vienības jāraksta vienā kārtībā abās pusēs: kg pret kg, € pret €. Sajauksi augšu ar apakšu — atbilde aplama.
⚠️ Sadalot attiecībā $2:3$, daļas ir $\frac{2}{5}$ un $\frac{3}{5}$ (saucējā summa $2+3$), nevis $\frac{2}{3}$.