Apgrieztā proporcionalitāte un hiperbola

📖Apgrieztā proporcionalitāte

Divi lielumi $x$ un $y$ ir apgriezti proporcionāli, ja to reizinājums ir nemainīgs: $x \cdot y = k$, kur $k \neq 0$ ir konstante.

Kad viens lielums palielinās, otrs tikpat reižu samazinās. Piemēram, ja ātrums dubultojas, tad laiks (fiksētam attālumam) samazinās uz pusi.

∑Hiperbola $y = \dfrac{k}{x}$

No $x \cdot y = k$ izsakot $y$, iegūstam funkciju $y = \dfrac{k}{x}$. Tās grafiks ir hiperbola — divi atsevišķi zari.

• ja $k > 0$ — zari atrodas I un III ceturksnī;
• ja $k < 0$ — zari atrodas II un IV ceturksnī.

Funkcija nav definēta, kad $x = 0$ (ar nulli nedrīkst dalīt), un $y$ nekad nav $0$ — grafiks tuvojas asīm, bet tās neskar.

💡Piemērs

Lielumi $x$ un $y$ ir apgriezti proporcionāli, un kad $x = 4$, tad $y = 6$.

1. solis — konstante. $k = x \cdot y = 4 \cdot 6 = 24$.

2. solis — jaunā vērtība. Kad $x = 8$: $y = \dfrac{24}{8} = 3$. Ievēro: $x$ palielinājās $2$ reizes, tāpēc $y$ samazinājās $2$ reizes ($6 \to 3$).

•Izmēģini: hiperbola $y = \dfrac{k}{x}$

•Darām kopā: $y = \dfrac{12}{x}$

🎯Padoms — tiešā vai apgrieztā?

Tiešā proporcionalitāte: attiecība $\dfrac{y}{x} = k$ nemainīga (abi aug kopā), grafiks — taisne caur sākumpunktu. Apgrieztā: reizinājums $x \cdot y = k$ nemainīgs (viens aug, otrs krīt), grafiks — hiperbola. Pārbaudi: ja $x$ dubultojas un $y$ arī dubultojas → tiešā; ja $y$ samazinās uz pusi → apgrieztā.

⚠️Bieža kļūda

Nejauc apgriezto proporcionalitāti ar tiešo. Ja $x$ palielinās $3$ reizes, tad apgrieztajai $y$ samazinās $3$ reizes (dala ar $3$), nevis palielinās. Vienmēr pārbaudi ar reizinājumu: $x \cdot y$ jāpaliek tam pašam.