Saīsinātās reizināšanas formulas

📖Kas ir saīsinātās reizināšanas formulas?

Saīsinātās reizināšanas formulas ļauj ātri izplest izteiksmes ar iekavām, neveicot pilnu reizināšanu pa locekļiem.

Trīs galvenās formulas, ko izmanto nepārtraukti līdz pat 12. klasei:

• Summas kvadrāts: $(a+b)^2$
• Starpības kvadrāts: $(a-b)^2$
• Kvadrātu starpība: $a^2-b^2$

Tās darbojas abos virzienos: gan izplešot iekavas, gan sadalot izteiksmi reizinātājos.

∑Formulas

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Vārdiski: "pirmā kvadrāts, plus/mīnus dubultreizinājums, plus otrā kvadrāts".

Ievēro: vidējais loceklis ir $2ab$ — dubults reizinājums, un tikai tam mainās zīme.

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums 1: Izplet $(x+3)^2$.

$$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$$

Uzdevums 2: Aprēķini $99^2$ galvā.

$$99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1 = 10000 - 200 + 1 = 9801$$

Uzdevums 3: Sadali reizinātājos $x^2 - 25$.

$$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$$

🎯Atmiņas paņēmiens

"KVA-DU-KVA": KVAdrāts, DUbultreizinājums, KVAdrāts. Tikai vidējam loceklim ir zīme no iekavas.

Atpazīšana pretējā virzienā (svarīgi sadalīšanai reizinātājos):

• Redzi trīs locekļus, kur pirmais un pēdējais ir kvadrāti? Pārbaudi, vai vidējais ir $2ab$ → tad tas ir $(a \pm b)^2$.
• Redzi divus kvadrātus ar mīnusu? Tā vienmēr ir $(a-b)(a+b)$.

Galvas rēķiniem: $21^2 = (20+1)^2 = 441$, $19 \cdot 21 = (20-1)(20+1) = 399$.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$! Šī ir visu laiku biežākā algebras kļūda. Vienmēr ir arī vidējais loceklis $2ab$.

Pārbaude ar skaitļiem: $(2+3)^2 = 25$, bet $2^2 + 3^2 = 13$. Atšķirība tieši $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

⚠️ Kvadrātu summa $a^2 + b^2$ NESADALĀS reizinātājos (reālos skaitļos). Sadalās tikai starpība $a^2 - b^2$.

⚠️ Starpības kvadrātā pēdējais loceklis ir plus: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab \textbf{+} b^2$, jo $(-b)^2 = +b^2$.

✓ Pārbaudi sevi