Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $42$ cm, augstums $72$ cm. Aprēķini tilpumu (cm³).
A) $84672$ cm³
B) $44100$ cm³
C) $42336$ cm³
D) $1764$ cm³
Pareizā atbilde: C) $42336$ cm³
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{pamata}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 42^2 \cdot 72 = \dfrac{127008}{3} = 42336$ cm³.
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
2. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $80$ cm, sānu skaldnes augstums (apotēma) $58$ cm. Aprēķini sānu virsmas laukumu (cm²).
A) $6720$ cm²
B) $18560$ cm²
C) $25600$ cm²
D) $9280$ cm²
Pareizā atbilde: D) $9280$ cm²
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. Sānu virsmu veido $4$ vienādi trijstūri: $S_{\text{sānu}} = 4 \cdot \dfrac{1}{2} a \cdot l = 2 a l = 2 \cdot 80 \cdot 58 = 9280$ cm².
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
3. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata malu palielina $4$ reizes, augstumu nemaina. Cik reižu palielinās tilpums?
A) $16$
B) $32$
C) $64$
D) $15$
Pareizā atbilde: A) $16$
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$. Pamata mala ir KVADRĀTĀ, tāpēc tilpums pieaug $4^2 = 16$ reizes.
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
4. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata malu palielina $3$ reizes, augstumu nemaina. Cik reižu palielinās tilpums?
A) $2$
B) $9$
C) $4$
D) $27$
Pareizā atbilde: B) $9$
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$. Pamata mala ir KVADRĀTĀ, tāpēc tilpums pieaug $3^2 = 9$ reizes.
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
5. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $40$ cm, augstums $21$ cm. Aprēķini sānu skaldnes augstumu jeb apotēmu (cm).
A) $1$ cm
B) $21$ cm
C) $28$ cm
D) $29$ cm
Pareizā atbilde: D) $29$ cm
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. Pamata apotēma ir puse no malas: $40 : 2 = 20$ cm. Sānu skaldnes augstums, piramīdas augstums un pamata apotēma veido taisnleņķa trijstūri: $l = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ cm.
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
6. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $10$ cm, sānu skaldnes augstums (apotēma) $13$ cm. Aprēķini sānu virsmas laukumu (cm²).
A) $240$ cm²
B) $260$ cm²
C) $100$ cm²
D) $400$ cm²
Pareizā atbilde: B) $260$ cm²
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. Sānu virsmu veido $4$ vienādi trijstūri: $S_{\text{sānu}} = 4 \cdot \dfrac{1}{2} a \cdot l = 2 a l = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260$ cm².
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
7. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $20$ cm, sānu skaldnes augstums (apotēma) $26$ cm. Aprēķini sānu virsmas laukumu (cm²).
A) $520$ cm²
B) $260$ cm²
C) $1040$ cm²
D) $960$ cm²
Pareizā atbilde: C) $1040$ cm²
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. Sānu virsmu veido $4$ vienādi trijstūri: $S_{\text{sānu}} = 4 \cdot \dfrac{1}{2} a \cdot l = 2 a l = 2 \cdot 20 \cdot 26 = 1040$ cm².
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
8. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $48$ cm, augstums $70$ cm. Aprēķini tilpumu (cm³).
A) $80640$ cm³
B) $53760$ cm³
C) $56832$ cm³
D) $107520$ cm³
Pareizā atbilde: B) $53760$ cm³
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{pamata}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 48^2 \cdot 70 = \dfrac{161280}{3} = 53760$ cm³.
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
9. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $28$ cm, augstums $48$ cm. Aprēķini tilpumu (cm³).
A) $784$ cm³
B) $1792$ cm³
C) $448$ cm³
D) $12544$ cm³
Pareizā atbilde: D) $12544$ cm³
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{pamata}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 28^2 \cdot 48 = \dfrac{37632}{3} = 12544$ cm³.
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.
10. uzdevums
Regulāras četrstūra piramīdas pamata mala ir $32$ cm, augstums $30$ cm. Aprēķini sānu skaldnes augstumu jeb apotēmu (cm).
A) $33$ cm
B) $34$ cm
C) $46$ cm
D) $44$ cm
Pareizā atbilde: B) $34$ cm
Atrisinājums: 1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$ $S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma) $l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$
2. Šim uzdevumam. Pamata apotēma ir puse no malas: $32 : 2 = 16$ cm. Sānu skaldnes augstums, piramīdas augstums un pamata apotēma veido taisnleņķa trijstūri: $l = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$ cm.
3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.