Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Gadījuma lielums $X$ ir lielums, kas pieņem skaitliskas vērtības atkarībā no nejaušības iznākuma (piem., punktu skaits, metot kauliņu).
Varbūtību sadalījums ir tabula, kas katrai $X$ vērtībai $x_i$ piekārto tās varbūtību $p_i$.
Pamatnosacījums: visu varbūtību summa ir $1$:
$p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$
Sagaidāmā vērtība (matemātiskā cerība) $E(X)$ — "vidējais ilgtermiņā":
$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$
Dispersija un standartnovirze:
$D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$, $\sigma = \sqrt{D(X)}$
Sagaidāmā vērtība lietota risku un ienākumu prognozēšanā (apdrošināšana, azartspēles, investīcijas).
Uzdevums: Loterijā laimests $X$: $0$ € ar varb. $0{,}7$; $10$ € ar varb. $0{,}2$; $50$ € ar varb. $0{,}1$. Atrod sagaidāmo laimestu.
1. solis. Pārbaude: $0{,}7 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1$ ✓
2. solis. Sagaidāmā vērtība:
$$E(X) = 0 \cdot 0{,}7 + 10 \cdot 0{,}2 + 50 \cdot 0{,}1 = 0 + 2 + 5 = 7 \text{ €}$$
Atbilde: $E(X) = 7$ €. (Ja biļete maksā vairāk par $7$ €, vidēji spēlētājs zaudē.)
Sagaidāmā vērtība = "vērtība reiz varbūtība, viss saskaitīts". Tas ir svērtais vidējais, kur svari ir varbūtības.
Vienmēr pārbaudi, ka varbūtību summa ir $1$ — ja nē, sadalījums kļūdains.
$E(X)$ nav obligāti iespējama vērtība! Kauliņa $E(X) = 3{,}5$, lai gan $3{,}5$ uz kauliņa nav.
⚠️ Varbūtību summai JĀBŪT 1. Ja saskaiti un nesanāk $1$ — kaut kur kļūda.
⚠️ Sagaidāmā vērtība reizina vērtību ar varbūtību, ne tikai saskaita vērtības. $E(X) = \sum x_i p_i$, ne $\sum x_i$.
⚠️ $E(X)$ var nebūt sarakstā esoša vērtība — tā ir teorētiskā vidējā, ne reāls iznākums.