Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Polinoms ir izteiksme $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$.
Polinoma pakāpes $n$ polinomam ir ne vairāk kā $n$ reālo sakņu.
Bezū teorēma: $P(x)$ atlikums, dalot ar $(x - a)$, ir $P(a)$.
Sekas: $a$ ir polinoma sakne $\Leftrightarrow$ $(x - a)$ ir tā reizinātājs:
$P(a) = 0 \;\Leftrightarrow\; P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$
Veselo sakņu meklēšana: ja koeficienti veseli, veselās saknes ir brīvā locekļa $a_0$ dalītāji.
Atrastu sakni izmanto, lai ar dalīšanu pazeminātu pakāpi (Hornera shēma).
Uzdevums: Pārbaudi, vai $x = 2$ ir polinoma $P(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ sakne.
1. solis. Bezū teorēma — aprēķini $P(2)$:
$$P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$$
2. solis. $P(2) = 0$ → $x = 2$ ir sakne, un $(x - 2)$ ir reizinātājs.
3. solis. Dalot $P(x)$ ar $(x-2)$, iegūst $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$, tātad $P(x) = (x-2)^2(x+1)$.
Saknes: $x = 2$ (dubulta) un $x = -1$.
Veselās saknes meklē starp brīvā locekļa dalītājiem. $P(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ → pārbaudi $\pm1, \pm2, \pm4$.
Bezū = ātrā sakņu pārbaude: ievieto kandidātu; ja $P(a) = 0$ → sakne, bez dalīšanas.
Atradis vienu sakni, "izdali" $(x-a)$ un turpini ar zemākas pakāpes polinomu — tā lielas pakāpes vienādojumus reducē līdz kvadrātvienādojumiem.
⚠️ Bezū teorēma dod atlikumu $P(a)$, ne $P(-a)$. Dalot ar $(x - 2)$, ievieto $x = +2$.
⚠️ Pakāpes $n$ polinomam ne vienmēr ir tieši $n$ reālo sakņu — var būt mazāk (vai dubultas).
⚠️ Veselo sakņu meklēšana darbojas tikai polinomiem ar veseliem koeficientiem.