Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Pilnās varbūtības formula aprēķina notikuma $A$ varbūtību, kad iznākums atkarīgs no vairākiem savstarpēji izslēdzošiem scenārijiem (hipotēzēm) $H_1, H_2, \ldots$
Tipiska situācija: "izvēlas no vienas no vairākām kastēm/rūpnīcām, tad izvelk objektu" — vispirms scenārijs, tad notikums.
Hipotēzes veido pilnu grupu: to varbūtību summa ir $1$.
$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + \ldots + P(H_n)P(A|H_n)$
t.i., katra scenārija varbūtība reiz notikuma varbūtība tajā scenārijā, viss saskaitīts.
Nosacījumi: $H_1, \ldots, H_n$ savstarpēji izslēdzoši, $P(H_1) + \ldots + P(H_n) = 1$.
Uzdevums: Divas kastes. 1. kastē 3 baltas, 7 melnas; 2. kastē 6 baltas, 4 melnas. Nejauši izvēlas kasti (vienādi ticami), tad bumbiņu. Kāda varbūtība izvilkt baltu?
1. solis. Hipotēzes: $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$.
2. solis. Nosacītās: $P(A|H_1) = \frac{3}{10}$, $P(A|H_2) = \frac{6}{10}$.
3. solis. Pilnās varbūtības formula:
$$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{10} = \frac{3}{20} + \frac{6}{20} = \frac{9}{20} = 0{,}45$$
Atbilde: $0{,}45$.
Koka diagramma: katrs zars = viens scenārijs. Iet pa zaru (reizini varbūtības), tad saskaiti visus zarus, kas ved uz notikumu $A$.
"Vidējā svērtā varbūtība": notikuma varbūtības katrā scenārijā, svērtas ar scenāriju varbūtībām.
Vienmēr pārbaudi, ka hipotēžu varbūtību summa ir $1$ — citādi grupa nav pilna.
⚠️ Neaizmirsti reizināt ar scenārija varbūtību $P(H_i)$. Nevis vienkārši saskaitīt nosacītās varbūtības.
⚠️ Hipotēzēm jābūt savstarpēji izslēdzošām un pilnām (summa $1$).
⚠️ Nejauc ar Bajesa formulu — pilnās varbūtības formula dod $P(A)$, Bajesa formula "apgriež" uz $P(H_i|A)$.