Ņūtona binoms un Paskāla trijstūris

📖Binoma pakāpes izvēršana

Ņūtona binoms ir formula summas $(a+b)^n$ izvēršanai jebkurai naturālai pakāpei $n$.

Koeficientus sauc par binomiālajiem koeficientiem $C_n^k$ (kombinācijas).

Piemēri, kas jau zināmi: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

∑Formula un Paskāla trijstūris

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \ldots + C_n^n b^n$

Paskāla trijstūris — binomiālie koeficienti; katrs skaitlis = divu virs tā summa:

1
1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1

$n$-tā rinda dod $(a+b)^n$ koeficientus. Pakāpes: $a$ pakāpe krīt $n \to 0$, $b$ aug $0 \to n$; katra locekļa pakāpju summa vienmēr $n$.

💡Piemērs ar risinājumu

Uzdevums: Izvērs $(x + 2)^3$.

1. solis. Paskāla 3. rinda: koeficienti $1, 3, 3, 1$.

2. solis. $a = x$, $b = 2$; $a$ pakāpe krīt, $b$ aug:

$$1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^3$$

$$= x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

Atbilde: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

🎯Atmiņas paņēmiens

Paskāla trijstūris ātrāks par formulu mazām pakāpēm — katrs skaitlis ir divu virs tā summa.

Pakāpju pārbaude: katrā loceklī $a$ un $b$ pakāpju summa = $n$. Ja nesanāk, ir kļūda.

$k$-tais loceklis (skaitot no 0): $C_n^k a^{n-k} b^k$ — noder, ja vajag tikai vienu konkrētu locekli.

⚠️Bieža kļūda

⚠️ Neaizmirsti binomiālos koeficientus. $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ — vidējie locekļi ar koeficientiem $3$.

⚠️ Kāpinot $b = 2$: $b^2 = 4$, $b^3 = 8$ — visu locekli kāpina, ne tikai skaitli reizē ar mainīgo.

⚠️ Ja $(a - b)^n$, zīmes mainās pamīšus ($+, -, +, -$), jo $b$ negatīvs.

✓ Pārbaudi sevi