Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Reālo skaitļu kopā vienādojumam $x^2 = -1$ nav atrisinājuma. Ievieš imagināro vienību:
$i = \sqrt{-1}$, tātad $i^2 = -1$
Komplekss skaitlis algebriskā formā: $z = a + bi$, kur $a$ — reālā daļa $\operatorname{Re}(z)$, $b$ — imaginārā daļa $\operatorname{Im}(z)$.
Attēlo komplekso skaitļu plaknē: reālā daļa uz $x$ ass, imaginārā uz $y$ ass.
Saskaitīšana: $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$.
Reizināšana: kā iekavas, ar $i^2 = -1$: $(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.
Saistītais (konjugētais): $\bar{z} = a - bi$. Reizinājums $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ (reāls!).
Modulis: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (attālums no sākumpunkta).
$i$ pakāpes cikliskas: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, tad atkārtojas.
Uzdevums: $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = 1 - i$. Atrod $z_1 z_2$ un $|z_1|$.
1. solis. Reizinājums:
$$(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i - 3(-1) = 2 + i + 3 = 5 + i$$
2. solis. Modulis:
$$|z_1| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$
Kvadrātvienādojums ℂ: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm 2i$.
Rēķini kā ar parastām iekavām, tikai $i^2 = -1$. Tas ir viss triks.
$i$ pakāpes — riteņa cikls pa 4: $i, -1, -i, 1, i, \ldots$ Lai atrastu $i^{n}$, dali $n$ ar 4 un skaties atlikumu.
Dalot kompleksos, paplašini ar saucēja saistīto — tas padara saucēju reālu: $\frac{1}{2+i} = \frac{2-i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{5}$.
⚠️ $i^2 = -1$, ne $+1$. Tā ir visa kompleksā aprēķina saknes; kļūda tur salauž visu.
⚠️ $\sqrt{-4} = 2i$, nevis $-2i$ vai $\sqrt{4}$. Negatīvu zem saknes "izvelk" caur $i$.
⚠️ Modulis $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ ir reāls nenegatīvs skaitlis, ne komplekss.