Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Inversā funkcija $f^{-1}$ "atgriež atpakaļ" to, ko izdarīja $f$: ja $f(a) = b$, tad $f^{-1}(b) = a$.
Inversā funkcija eksistē tikai tad, ja $f$ ir abpusēji viennozīmīga (katrai $y$ vērtībai precīzi viena $x$).
Grafiki $y = f(x)$ un $y = f^{-1}(x)$ ir simetriski pret taisni $y = x$.
Algoritms:
Pamatīpašība: $f^{-1}(f(x)) = x$ un $f(f^{-1}(x)) = x$ (saliktas dod identitāti).
Definīcijas un vērtību apgabali samainās vietām: $D(f^{-1}) = E(f)$, $E(f^{-1}) = D(f)$.
Uzdevums: Atrod inverso funkciju $f(x) = 2x + 6$.
1. solis. $y = 2x + 6$.
2. solis. Samaini $x \leftrightarrow y$: $x = 2y + 6$.
3. solis. Atrisini par $y$:
$$x - 6 = 2y \;\Rightarrow\; y = \frac{x - 6}{2}$$
Atbilde: $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$.
Pārbaude: $f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+6)-6}{2} = \frac{2x}{2} = x$ ✓
Inversā funkcija "atritina" darbības pretējā secībā. $f$: reizina ar 2, pieskaita 6. $f^{-1}$: atņem 6, dala ar 2.
Vienkāršais paņēmiens: samaini $x$ un $y$, izsaki $y$. Tas ir viss.
Grafiku simetrija pret $y = x$ ļauj pārbaudīt: ja punkts $(a; b)$ ir uz $f$, tad $(b; a)$ ir uz $f^{-1}$.
⚠️ $f^{-1}(x) \neq \dfrac{1}{f(x)}$! Inversā funkcija nav apgrieztais skaitlis. $f^{-1}$ "atritina" darbību, $\frac{1}{f}$ ir dalīšana.
⚠️ Inversā eksistē tikai abpusēji viennozīmīgai funkcijai. $f(x) = x^2$ (visā $\mathbb{R}$) inversās nav, jo $4$ atbilst gan $2$, gan $-2$.
⚠️ Neaizmirsti samainīt $x$ un $y$ — tas ir solis, kas atšķir inverso no vienkāršas pārkārtošanas.